（组合游戏）SG函数与SG定理详解

前言

  好久没写博客了，上一篇博客还是去年实训写的，一是因为寒假，二是因为随着难度的加深，学一个算法的时间也变长了很多（蒟蒻专有buff）。当然，最重要的还是因为自己懒～

  后面会继续努力的。（这csdn的markdown编辑器又改版了越来越难用了）

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好了，进入主题，说一下SG函数和SG定理吧

什么是组合游戏

在竞赛中，组合游戏的题目一般有以下特点

1. 题目描述一般为$A$,$B$ 2人做游戏
2. $A$ $B$交替进行某种游戏规定的操作，每操作一次，选手可以在有限的操作（操作必须合法）集合中任选一种。
3. 对于游戏的任何一种可能的局面，合法的操作集合只取决于这个局面本身，不取决于其它因素（跟选手，以前的所有操作无关）
4. 如果当前选手无法进行合法的操作，则为负

举个例子现在有一个数0,小明小红2人每次可以轮流在当前数加 1~3，谁先凑到21谁就赢

这个描述就符合上面的条件：

• 小明小红（满足1）
• 每次轮流在当前数上加1～3（满足2）
• 当前能进行的操作只取决于这个数本身（也就是这个局面），如果这个数为20,可操作的集合为+{1}，如果为12,可操作的集合为+{1,2,3}（满足3）
• 如果数字已经为21了,则不可能往上在加数字，可操作集合为$\Phi$，当前选手为负（满足4）

必胜点和必败点的概念

• 必败点(P点) 前一个(previous player)选手将取胜的点称为必败点
• 必胜点(N点) 下一个(next player)选手将取胜的点称为必胜点

比如现在数字已经为18了，那么当前操作人只要给数字+3则必胜，我们就把在此位置称为必胜点（正常操作情况下，别杠说都18偏要+2。。。。）
必胜点和必败点的性质：
- 所有的终结点都是必败点
- 从任何必胜点操作，至少有一种方式进入必败点
- 无论如何操作， 从必败点都只能进入必胜点.

Sprague-Grundy(SG)定理

游戏和的SG函数等于各个游戏SG函数的Nim和。这样就可以将每一个子游戏分而治之，从而简化了问题。而Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim游戏中的直接应用，因为单堆的Nim游戏 SG函数满足 SG(x) = x。

Nim和 ： 各个数相异或的结果

SG函数

先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
对于任意状态 x ， 定义 SG(x) = mex(S),其中 S S