求N！阶乘中结尾0的个数，或结果的二进制表示中最后一个1所在的位置

问题1：阶乘结尾0的个数

要想阶乘的结尾是0，那么这个0已经通过5的倍数乘以另一个数获得，例如：5，10，15，20，25...，同时可以注意到这样一个规律，5，10，15，20，30，35，40与某个数相乘后可以贡献1个0，而25，50，75，100...与某个数相乘可以贡献2个0，5^3, 2* 5^3, 3*5^3与某个数相乘时贡献了3个0，依次类推。同时我们注意到，在统计5,10,15,20,25...时已经统计了一次25，50，75， 100，5^3, 2* 5^3, 3* 5^3一次了，而在统计25、50、75...时也统计了一次5^3, 2* 5^3...一次了，这样最终0的个数就是计算5的倍数出现了多少次+ 25的倍数出现了多少次 + 5^3出现了多少次，知道5^x > N，据此分析程序如下，如NumberOfZero1所示，

#include <stdio.h>
int NumberOfZero(int var) {
  int num = 0;
  int j;
  for (int i = 1; i <= var; ++i) {
    j = i;
    while (j % 5 == 0) {
      num++;
      j /= 5;
    }
  }
  return num;
}
int NumberOfZero1(int var) {
  int num = 0;
  int base = 1;
  int i = 1;
  while (true) {
    base = base * 5;
    if (base > var) {
      break;
    }
    i = 1;
    while (base * i <= var) {
      num++;
      i++;
    }
  }
  return num;
}
int main(int argc, char** argv) {
  printf("method1: num = %d\n", NumberOfZero(14000));
  printf("method2: num = %d\n", NumberOfZero1(14000));
}

NumberOfZero是编程之美中给出了另一种求5、25、 5^3、个数的另一中求法，更加简洁一些。

问题2：二进制表示中最后一个1所在的位置

根据二进制数的性质，如果最后一位是1，那么该数为奇数，因为如果结尾为0，那么这个二进制数一定为偶数，因为结尾为0的数可以看作某个结尾为1的数，左移1位得到，即乘2后得到的数，因此一定是偶数，那么这个偶数再加1后，一定为奇数。

相似的分析，如果倒数第2位为1一定是2的倍数

如果倒数第3位是1一定是4的倍数

...

如果与问题1类比，如果N！有多少个2的倍数，相当于左移了多少位，相当于问题1的有多少个0，有多少个4的倍数，相当多少个左移2位，相当于问题1的贡献2个0...

同时注意到除了1！外，没有一个数的阶层是奇数，因为2以上的阶乘至少含有一个2这个因子。

因此问题2其实和问题1是相同的问题。

程序如下：

#include <stdio.h>
int PositionOf1(int var) {
  int pos = 0;
  while (var) {
    var>>=1;
    pos += var;
  }
  return pos;
}
int PositionOf1_1(int var) {
  int pos = 0;
  int base = 1;
  int i = 0;
  while (true) {
    base *=2;
    if (base > var) {
      break;
    }
    i = 1;
    while (base * i <= var) {
      pos++;
      i++;          
    }
  }
  return pos;
}
int main(int argc, char** argv) {
  printf("method1: num = %d\n", PositionOf1_1(14));
  printf("method2: num = %d\n", PositionOf1(14));
}

参考文献

编程之美p125 2.2