麦克风阵列处理之超指向波束与散射噪声场

概述

SDB（Superdirective Beamformer，超指向波束）是麦克风阵列处理中实现语音增强的一种方法。SDB使用MVDR（Minimum Variance Distortionless Response）准则，且采用理论推导的噪声场，如散射噪声场。超指向的“超（Super）”指的是SDB相对于传统DSB（Delay-Sum Beamformer）能实现更好的指向性。本文介绍频域SDB原理，包括MVDR准则、所用噪声场并画出波束图（Beam Pattern）。
　　符号表示：对语音信号做短时傅里叶变换，用$k$ 表示各频点，$l$ 表示帧编号，$M$表示麦克风个数，$c$表示声速，$\theta$为目标声源的角度，${\tau }_{mn}$表示第$m$个麦克风与第$n$个麦克风的时延差，$l_{mn}$表示第$m$个麦克风与第$n$个麦克风的距离。$W(k,l)$表示波束的系数，${\text{d}}_{\theta }(k,l)=(1,e^{-jw{\tau }_{21}},...,e^{-jw{\tau }_{M1}}{)}^T$表示来自角度$\theta$方向的方向向量，$R_{zz}(k,l)$表示噪声互相关矩阵。下文为简洁起见省略括号，分别用$W$、$\text{d}$和$R_{zz}$表示对应项。

原理

MVDR

MVDR的目标是求解如下优化问题：
　

　　min⁡W{WHRzzW}\min \limits_{W}\{W^HR_{zz}W\}Wmin​{WHRzz​W}
　　$s.t.{\text{d}}_{\theta }^{H}W=1$
　
采用拉格朗日乘子法可解得

$W_{opt}=\frac{R_{zz}^{-1}{\text{d}}_{\theta }}{{\text{d}}_{\theta }^H{R}_{zz}{\text{d}}_{\theta }}$

可见，如果已知目标声源方向，已知噪声互相关矩阵$R_{zz}$，就可使用上式求得$W$。其中目标声源方向可使用DOA估计算法求得，而标准的超指向波束使用的噪声互相关矩阵为散射（Diffused）噪声场的互相关矩阵，后文将介绍。
　　拉格朗日乘子法推导$W_{opt}$的具体过程如下：
拉格朗日函数为

$L(W,\lambda )=W^H{R}_{zz}W+\lambda ({\text{d}}_{\theta }^{H}W-1)$
　
对其求导且置零

$\frac{\partial L(W,\lambda )}{\partial W^{\ast }}=R_{zz}W+\lambda {\text{d}}_{\theta }=\text{0}$
　
得

$W_{opt}=-\lambda R_{zz}^{-1}{\text{d}}_{\theta }$
　
将上式代入MVDR的约束条件${\text{d}}_{\theta }^H{W}_{opt}=1$中，可解得$\lambda =-\frac{1}{{\text{d}}_{\theta }^H{R}_{zz}{\text{d}}_{\theta }}$，再将$\lambda$代入上式，即可得上文所示$W_{opt}$的解析式。

散射噪声场

散射噪声场描述处于强反射封闭空间中的噪声场，即麦克风接收到的噪声来自于四面八方的反射噪声。3D空间的散射噪声场，也称为spherical isotropic noise field，其互相关矩阵为

$R_{zz}=\left[\begin{array}{cccc}1& R{z}_1{z}_2& \cdots & R{z}_1{z}_M\\ R{z}_2{z}_1& 1& \cdots & R{z}_2{z}_M\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ R{z}_M{z}_1& R{z}_M{z}_2& \cdots & 1\end{array}\right]$
　
其中

$R{z}_m{z}_n=sinc(\frac{w{l}_{mn}}{c})$
　
2D空间的散射噪声场，也称为cylindrical isotropic noise field，模拟比如天花板和地板弱反射而四周强反射的房间内的噪声场。其互相关矩阵中的元素为

$R{z}_m{z}_n=J_0(\frac{w{l}_{mn}}{c})$
　
其中$J_0(\cdot )$为第一类零阶Bessel函数。
　　由于散射噪声场的互相关矩阵只与麦克风阵列结构有关，而与信号无关，因此计算所得的波束系数$W_{opt}$也与数据无关。只有当目标方向改变时，才需重新计算$W_{opt}$。
　　以两麦为例，互相关矩阵的推导如下：
对spherical isotropic噪声场，考虑下图所示的球体，假设球半径$R$远大于麦克风间距$d$。


图1 spherical isotropic 噪声场示意图
　
先考虑只有两个噪声源，分别来自不同的方向${\varphi }_1$和${\varphi }_2$，两个麦克风分别用下标A和B表示，则麦克风接收信号为

$s_A(t)=s_1(t)+s_2(t)$
$s_B(t)=s_1(t-\frac{dcos{\varphi }_1}{c})+s_2(t-\frac{dcos{\varphi }_2}{c})$
　
自相关功率谱和互相关功率谱分别为

$S_{AA}(e^{jw})=S_1(e^{jw})+S_2(e^{jw})$
$S_{BB}(e^{jw})=S_1(e^{jw})+S_2(e^{jw})$
$S_{AB}(e^{jw})=S_1(e^{jw})e^{-jw\frac{dcos{\varphi }_1}{c}}+S_2(e^{-jw\frac{dcos{\varphi }_2}{c}})$
　

由互相关函数的定义

$\gamma (e^{jw})=\frac{S_{AB}(e^{jw})}{\sqrt{S_{AA}(e^{jw})S_{BB}(e^{jw})}}$
　
可知

$\gamma (e^{jw})=\frac{1}{2}(e^{-jw\frac{dcos{\varphi }_1}{c}}+e^{-jw\frac{dcos{\varphi }_2}{c}})$
　
如果存在N个不相关的噪声源，互相关函数为

$\gamma (e^{jw})=\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N{e}^{-jw\frac{dcos{\varphi }_n}{c}}$
　
考虑图1所示球面上所有点都是噪声源，红线所示的圆环都对应同一个角度$\varphi$，圆环的面积是$2\pi Rsin\varphi Rd\varphi$，球表面积为$4\pi R^2$，则有

$\gamma (e^{jw})=\frac{1}{4\pi R^2}{\int }_0^{\pi }{e}^{jw\frac{dcos\varphi }{c}}2\pi R^{2}sin\varphi d\varphi =sinc(\frac{wd}{c})$
　
　同理，对cylindrical isotropic噪声场，在平面圆上求解，有

$\gamma (e^{jw})=\frac{1}{2\pi R}{\int }_0^{2\pi }{e}^{-jw\frac{dcos\varphi }{c}}Rd\varphi =J_0(\frac{wd}{c})$
　　
　以上。

波束图

Beam pattern的定义为$|W^H{\text{d}}_{\varphi }|$，即给定那个某$W$，它反映波束在不同频点$f$上对不同来声方向$\varphi$的信号给予多大增益。从波束图上能清晰看出波束的指向性、不同频点的主瓣宽度、混叠频率等信息。
　　这里设麦克风阵列为彼此间距6cm的四麦克风圆阵（分别分布在0°、90°、180°和270°方向），目标方向为135°，采样率为16kHz，使用超指向波束计算$W$，噪声场采用spherical isotropic噪声场，根据定义画出Beam pattern如图2所示。

图2 超指向波束的波束图示意
　
　以上。

Reference

本文主要参照书[1]的第2章，关于散射噪声场的推导参照Gannot博士论文[2]的附录A。图1来自[2]。
[1] M. Brandstein, D. Ward, Microphone Arrays: Signal Processing Techniques and Applications, Germany, Berlin:Springer, 2001.
[2] http://www.eng.biu.ac.il/~gannot/articles/phd_pdf.pdf