牛客-牛牛的幂运算-------------------数论+调精度

最新推荐文章于 2022-05-12 09:30:02 发布

最卑微的版主

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/beiweiyi/article/details/114331650

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本文探讨了求解特定形式等式ab=cd的有效算法。通过对a和c进行质因数分解，发现a和c的质因数个数必须相同，且对应的质因数幂次的最大公约数为1。通过枚举幂次并调整精度，最终得到解的数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

在这里插入图片描述
题意很简单求有多少组a^b=c^d

首先考虑 a=b=1时
对于每一个c和d都满足，所以一共是nn中
当a>1且b>1时
可以把a和c进行质因子分解，因为两边结果相等b和d只会改变每一个质因子的幂次，所以a和c所分解的质因子个数一定相同，把他们分解出来的质因子设为x1^k1 和 x2^k2(x1,x2为多个素数的乘积）所以说x1一定等于x2并且gcd(k1,k2)==1否则会出现重复的计数,所以只需要 x^k1*a=x^k2*b, 已知a,b,c,d的范围，k1,k2最大值也不会超过32（2³²>1e9)所以直接枚举k1,k2，然后根据数据范围可以得出对于不同的k1,k2有min(k1次根号n,k2次根号n)个x，然后需要k1a=k2*b，共有min(n/k1,n/k2)组a和b使得等式成立。

~~根据上述写完代码，wa98%绝活~~

ll ans=n*n%mod;
for(int i=1;i<=32;i++)
{
	for(int j=1;j<=32;j++)
	{
		if(__gcd(i,j)==1)
		{
			ll x=pow(n,1.0/i);
			ll y=pow(n,1.0/j);
			ans=(ans+min(x-1,y-1)*min(n/i,n/j))%mod;
		}
	}
}

在这里插入图片描述

结果是精度问题，需要手动调精度，大概是pow开根号的时候产生的吧，大概吧！~~完结撒花~~

//手动调精度 
while(qpow(x,i)<=n) x++;
while(qpow(y,j)<=n) y++;
x--,y--;

在这里插入图片描述
附代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll mod=1e9+7;
ll qpow(ll a, ll b)
{
    ll ans = 1;
    while(b){
        if(b & 1) ans = (ans*a);
        b>>=1;
        a = (a*a);
    }
    return ans;
}
int main()
{
	ll n;
	while(cin>>n)
	{
		ll ans=n*n%mod;
		for(int i=1;i<=32;i++)
		{
			for(int j=1;j<=32;j++)
			{
				if(__gcd(i,j)==1)
				{
					ll x=pow(n,1.0/i);
					ll y=pow(n,1.0/j);
					//手动调精度 
					while(qpow(x,i)<=n) x++;
					while(qpow(y,j)<=n) y++;
					x--,y--;
					
						
					ans=(ans+min(x-1,y-1)*min(n/i,n/j))%mod;
				}
			}
		}
		cout<<ans<<endl;
	}
	
}