整数划分问题

整数划分递归算法

一、问题描述

    将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+…+nk，其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。
正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的不同划分个数。

例如正整数6有如下11种不同的划分，

6;
5+1;
4+2,4+1+1;
3+3,3+2+1,3+1+1+1;
2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1;
1+1+1+1+1+1.
二、问题分析
    根据n和m的关系，考虑以下几种情况：

(1) 当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};

(2) 当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,...,1};

(3) 当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：

        (a). 划分中包含n的情况，只有一个即{n}；

        (b). 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。

               因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);

(4) 当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n);

(5) 但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：

        (a). 划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，可能

再次出现m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分个数为f(n-m, m);

        (b). 划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1);因此 

f(n, m)= f(n-m, m)+f(n,m-1);

     综合以上情况，我们可以看出，上面的结论具有递归定义特征，其中（1）和（2）属于回归条件，（3）

和（4）属于特殊情况，将会转换为情况（5）。而情况（5）为通用情况，属于递推的方法，其本质主要是通

过减小m以达到回归条件，从而解决问题。其递推表达式如下：

         f(n, m)= 1;                       (n=1 or m=1)

                  f(n, n);                 (n<m)

                  1+ f(n, m-1);            (n=m)

                  f(n-m,m)+f(n,m-1);       (n>m)