递归中的整数划分问题

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#数据结构 #c++ #leetcode

于 2023-02-28 21:34:47 首次发布

文章探讨了如何使用递归算法解决整数划分问题，即给定一个整数n和m，找到所有使得最大项不超过m的正整数和为n的划分方法。当n=1或m=1时，有唯一解；当n=m时，有两种情况；其他情况下，问题会退化为较小的子问题。提供的Python函数`splitNum`实现了这一逻辑。

递归中的整数划分问题

问题描述：

对于一个整数 $n$ ，想要将其划分为正整数若干之和。设这些正整数为 ${m_i\}$ ，显然 $0<mi≤n0<m_i \leq n$

对于一个划分，若 $(m_i) \leq m$ ，则我们称这种划分为 $n$ 的 $m$ 划分，将其记为 $N (n, m)$

那么，针对 $m$ 的不同取值，可以将问题不断退化。

若 $n = 1$ ，问题即为对 $1$ 进行划分，那么方法仅有 $1$ 种。故 $N (1, m) = 1$ .
若 $m = 1$ ，问题即为将整数 n 划分为 1 的和，那么方法也只有一种，（m 个 1 相加）。故 $N (n, 1) = 1$ .
若 $n = m$ ，分为 2 种情况讨论：
1. 划分好的结果中最大数为 n，那么划分方法只有 1 种
2. 划分好的结果中最大数小于 n，问题退化为 $N (n, m - 1)$ .
若 $n < m$ ，划分中的所有数字都不可能大于 $n$ ，问题退化为 $N (n, n)$ .
若 $n > m$ ，分为 2 种情况讨论：
1. 划分好的结果中最大数为 $m$ ，问题退化为 $N (n - m, m)$
2. 划分好的结果中最大数小于 $m$ ，问题退化为 $N (n, m - 1)$ .

最后，按照上面思路实现代码即可。

代码

def splitNum(n, m):
    if n == 1 or m == 1:
        return 1
    elif n > m:
        return splitNum(n - m, m) + splitNum(n, m - 1)
    elif n < m:
        return splitNum(n, n)
    elif n == m:
        return 1 + splitNum(n, n - 1)
    else:
        return NotImplementedError

print(splitNum(6, 6))