HDU 5726 求gcd=k的区间的个数 （二分+RMQ）

题意：给一个数组a，大小为n，接下来有m个询问，每次询问给出l、r，定义f[l,r]=gcd（al，al+1，...，ar），问f[l,r]的值 和 有多少对（l'，r'）使得f[l',r']=f[l,r]。n<=10万，m<=10万，1<=l<=r<=n，1<=l'<=r'。

思路：

　　第一步比较简单，预处理一下，定义f[i][j]为：ai开始，连续2^j个数的最大公约数，所以f[1][0]=a[1],f[1][1]=gcd(a1,a2),f[1][2]=gcd(a1,a2,a3,a4)。其实就是动态规划，让i从1-n，让j从0-17，递推上去即可。

　　递推公式如下：

　　1. f[i][0]=a[i];

　　2. f[i][j]=gcd(f[i][j-1],f[i+(1<<j-1)][j-1]);

　　就如同f[1][2]=gcd(f[1][1],f[3][1])=gcd(gcd(f[1][0],f[2][0]),gcd(f[3][0],f[4][0]));

　　通过上述预处理，查询时就只需O(logn)时间，如下：

　　令k=log2(r-l+1)，look(l,r)=gcd(f[l][k],f[r-(1<<k)+1][k]);

　　注：f[l][k] 和 f[r-(1<<k)+1][k]可能会有重叠，但不影响最终的gcd值。

　　第二步，我们可以枚举左端点 i 从1-n，对每个i，二分右端点，计算每种gcd值的数量，因为如果左端点固定，gcd值随着右端点的往右，呈现单调不增，而且gcd值每次变化，至少除以2，所以gcd的数量为nlog2(n)种，可以开map<int,long long>存每种gcd值的数量，注意n大小为10万，所以数量有可能爆int。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[100010][18];
int a[100010];
int n,m;
int gcd(int a,int b)
{
  return b?gcd(b,a%b):a;
}
void rmq()
{
  for(int j=1;j<=n;j++) f[j][0]=a[j];
  
  for(int i=1;i<18;i++){
    for(int j=1;j<=n;j++){
      if(j+(1<<i)-1 <= n){
        f[j][i]=gcd(f[j][i-1],f[j+(1<<i-1)][i-1]);
      }
    }
  }
}
int look(int l,int r)
{
  int k=(int)log2((double)(r-l+1));
  return gcd(f[l][k],f[r-(1<<k)+1][k]);
}
map<int,long long> mp;
void setTable()
{
  mp.clear();
  for(int i=1;i<=n;i++){
    int g=f[i][0],j=i;
    while(j<=n){
      int l=j,r=n;
      while(l<r)         ///二分确定与look(i,j)==g的最右边下标。
      {
        int mid=(l+r+1)>>1;
        if(look(i,mid)==g) l=mid;
        else r=mid-1;
      }

      mp[g]+=l-j+1;
      j=l+1;
      g=look(i,j);
    }
  }
}
int main()
{
  int t,l,r;
  int cas=1;
  scanf("%d",&t);
  while(t--)
  {
    printf("Case #%d:\n",cas++);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
      scanf("%d",&a[i]);
    
    rmq();
    setTable();
    scanf("%d",&m);
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
      scanf("%d%d",&l,&r);
      int g=look(l,r);
      printf("%d %I64d\n",g,mp[g]);
    }
  }
  return 0;
}