7、模拟滤波器设计与巴特沃斯滤波器特性解析

模拟滤波器设计与巴特沃斯滤波器特性解析

1. 模拟滤波器设计概述

在模拟滤波器的设计中，传统方法通过推导不同的解析解来解决近似问题，即找到满足滤波器规格的传递函数。然而，实际应用中滤波器的要求往往更为复杂，常需要同时满足多个不同甚至相互矛盾的要求，这使得设计一个优质的滤波器变得困难。

随着计算机技术的发展，基于计算机的数值优化技术为滤波器的合成提供了新的途径。这些技术可以用于合成同时满足衰减和群延迟要求的最优滤波器，相比传统的滤波器表查找方法，能够找到更高效、更经济的解决方案。

滤波器的幅度函数平方可以表示为：
[|H(j\omega)|^2 = \frac{1}{1 + \epsilon^2|C_N(j\omega)|^2}]
其中，(C_N(j\omega)) 是特征函数。对于奇数（偶数）阶滤波器，(C_N(s)) 是 (s) 的奇（偶）函数。(C_N(s)) 的零点（称为反射零点）通常位于通带内，极点（称为传输零点）位于阻带内。(\epsilon) 是一个常数，决定了滤波器通带内的变化。

2. 标准低通近似 - 巴特沃斯滤波器

2.1 巴特沃斯滤波器简介

巴特沃斯滤波器是数学上最简单、最常见的近似滤波器。它被广泛使用主要是因为易于合成，而非具有特别优异的性能。

不同阶数的巴特沃斯滤波器的衰减和群延迟特性如下：
- 衰减特性 ：在通带边缘 ( \omega_c = 1 \text{ rad/s}) 处，允许的容差 (A_{max} = 1.25 \text{ dB})。随着滤波器阶数的增加，整体群延迟增大，且峰值更尖锐。而在理想滤波器中，