洛谷 P3811 [模板] 模意义下的乘法逆元

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原创最新推荐文章于 2026-03-13 09:15:27 发布 988 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

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【模板】模意义下的乘法逆元

题目描述

给定 $n, p$ 求 $1∼n1\sim n$ 中所有整数在模 $p$ 意义下的乘法逆元。

这里 $a$ 模 $p$ 的乘法逆元定义为 $ax≡1(modp)ax\equiv1\pmod p$ 的解。

输入格式

一行两个正整数 $n, p$ 。

输出格式

输出 $n$ 行，第 $i$ 行表示 $i$ 在模 $p$ 下的乘法逆元。

样例 #1

样例输入 #1

10 13

样例输出 #1

提示

$\leq n \leq 3 \times 10 ^ 6$ ， $n < p < 20000528$ 。

输入保证 $p$ 为质数。

思路

递推式的起点： $1−1≡1(modp)1^{-1}\equiv 1 \pmod{p}$ （ $i = 1$ 时）。
对于 $i≥2i\geq2$ ，设 $p = k * i + t$ ，则 $k∗i+t≡0(modp)k*i+t\equiv 0 \pmod{p}$ ，
然后同时乘上 $i^{-1},t^{-1}$ ，则可以得到 $k∗t−1+i−1≡0(modp)k*t^{-1}+i^{-1}\equiv 0 \pmod{p}$ ，
移项可得 $i−1≡−k∗t−1(modp)i^{-1}\equiv -k*t^{-1} \pmod{p}$ ，
由于 $k=⌊pi⌋k=\lfloor\frac{p}i\rfloor$ ， $t=p%it=p\%i$ ，
所以 $i−1≡−⌊pi⌋∗(p%i)−1(modp)i^{-1}\equiv -\lfloor\frac{p}i\rfloor*(p\%i)^{-1} \pmod{p}$ ，
即 $i−1≡p−⌊pi⌋∗(p%i)−1(modp)i^{-1}\equiv p-\lfloor\frac{p}i\rfloor*(p\%i)^{-1} \pmod{p}$ 。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 3e6 + 6;
ll inv[maxn];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    ll n, p;
    cin >> n >> p;
    inv[1] = 1; // 初始化inv[1]
    cout << inv[1] << '\n';
    for (ll i = 2; i <= n; i++)
    {
        inv[i] = p - p / i * inv[p % i] % p; // 递推求乘法逆元
        cout << inv[i] << '\n';
    }
    return 0;
}