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搜索

搜索简介

搜索算法是利用计算机的高性能来有目的的穷举一个问题解空间的部分或所有的可能情况，从而求出问题的解的一种方法。
现阶段一般有枚举算法、深度优先搜索、广度优先搜索、A* 算法、回溯算法、蒙特卡洛树搜索、散列函数等算法。
在大规模实验环境中，通常通过在搜索前，根据条件降低搜索规模；根据问题的约束条件进行剪枝；利用搜索过程中的中间解，避免重复计算这几种方法进行优化。

平时大家写的暴力也在搜索的范畴之内

DFS/BFS

最基本的搜索框架
各自有适用的场合

伪代码（吕欣大佬手打）：

void BFS(int s)
{
queue Q;
Q.push(s);
vis[s]=true;
while (!Q.empty())
{
int u=Q.front();
Q.pop();
// do sth
for(int to:g[u])
{
if (!vis[to])
{
Q.push(to);
//do sth
}
}
}
}

eg:

文本编辑

有一个文本编辑器，它维护了一个字符串和一个光标
字符串中只包含 a ~ g，且每个字符最多只出现一次
光标在字符串开头/结尾/两字符之间
允许的操作：
将光标向前 / 后移动一个字符，消耗 1 点体力
在光标前 / 后插入一个字符（需保证它没有出现过），消耗为 2
删除光标前字符，消耗为 2
给定初始字符串和光标位置，问将它转化为目标字符串最少多少步

解：用两个队列来维护BFS就可以啦！！！QAQ

NOIp 2015 斗地主

给定斗地主的一组手牌，问用合法规则将它们全部打完，最少需要多少轮
多组询问
N <= 23

解：
考虑预处理 dp[x][y][z][w] 表示分别有 x、y、z、w 种出现 4、3、2、1 次的牌，不出顺子最少几步打完
DFS 搜索打顺子的情况，结合 dp 计算答案
最优性剪枝

Meet in middle

一种重要的优化搜索的手段
如果搜索的问题能分成两部分，且两部分能够很高效的合并，那么可以使用中途相遇法来大大提高搜索的效率

方程的解数

已知 N 元高次方程：
\sum_{i<=N} k[i] * x[i] ^ p[i] = 0
设未知数均为不大于 M 的正整数，求解的个数
N <= 6, M <= 150

解：
将前半部分的搜索结果存入 Hash 表
再搜后半部分

离散对数

给定素数 M 和整数 A、B
解方程 A^x = B (mod M)
给出任意一组解，或者说明无解
A, B <= M <= 10^9

解:
设步长 m
那么任意一个解可以写成 x = km + r
那么 A^{r} = A^{-km} * B (mod M)
枚举可能的 r，把左半部分扔进 Hash 表
枚举可能的 m，尝试寻找解
复杂度 O(m) + O(M / m) >= O(\sqrt{M})

简单题

给定 4 个长度为 N 的整数数组，给定 M
求：从 4 个数组中分别选一个数 a, b, c, d，使得
abcd=1 (mod M)
的方案数
N <= 4000

启发式搜索

启发式搜索又称为有信息搜索，它是利用问题拥有的启发信息来引导搜索，达到减少搜索范围、降低问题复杂度的目的，这种利用启发信息的搜索过程称为启发式搜索。
启发式搜索中应用最为广泛的搜索技巧当属 A* 和 IDA* 了
前者是 BFS 的启法式版本，后者是前者的迭代加深版本