国庆郑州集训day3：数据结构

数据结构

哈希字符串

字符串Hash：一种从字符串到整数的映射。

BKDR-Hash

》竞赛中常用的 hash 策略
》把字符串视为一个 base 进制的大整数，对某个质数 P 取模得到 hash 值
》sum_i = (sum_{i-1} *base + str_i) mod P
》base 可以取 31、131、13131 等，需要满足 base > |字符集|
》P 取 long long 范围内一个质数，注意溢出问题
》使用 unsigned long long 自然溢出可以视为对 2^64 取模
》但是可能被卡（对任意base）
》害怕 Hash 被卡的同学，也可以选择双 hash（常数翻倍)。

常用技巧

给定字符串 S，预处理出它的前缀 Hash 函数；同时计算好 mod P 意义下 base 的幂次表
sum[i] = (sum[i - 1] * base + str[i]) % P ////sum[i]为前i位的hash值
pw[i] = (pw[i - 1] * base) % P
基础应用：
提取一段子串的 hash 值
合并两个串的 hash 值
O(\log n) 计算两个子串的 lcp 和字典序大小

P：企鹅QQ

给定 N 个长度均为 L 的串
问有多少对字符串满足：恰好有一位对应不同
N <= 30000, L <= 200

ans:枚举删掉每一个位置，用 Hash 来进行答案统计

Trie树

又称字母树，可以用来维护字符串集合
优化思想是，利用字符串的公共前缀来减少查询时间，最大限度地减少无意义的比较
结构：有根树，每条边上存有一个字符
从根到每个叶子的路径上经过的字符写下来，对应了一个字符串

支持插入、查找、删除。

经典例题

(1)
给定 2 N 个字符串，你需要将它们配对起来
两个字符串 x、y 配对的得分是它们的 lcp 长度
最大化得分
N*<= 10^5，字符串总长 <= 2 * 10^6
建出 trie 树，两个串的 LCP 即为它们的 LCA 的深度
使用贪心算法，按照树的 DFS 序列配对

(2)
给定一棵有根树，每条边有权值 w_i
求树上的一条简单路径，使得路径经过的边权异或和最大
N <= 2 * 10^5, w_i <= 10^9
记录 dis[a] 表示 a 到根的链的异或和
考虑 x、y 之间的链的异或和，设 LCA 为 z
= (dis[x] ^ dis[z]) ^ (dis[y] ^ dis[z]) = dis[x] ^ dis[y]
不难发现与 z 无关！
于是问题转化为，给定 N 个数，选出两个使得异或和最大
考虑枚举两个数之一 x，我们想在其它数中找到一个与 x 的异或和最大
从高到低考虑每一位，尽可能让更高位为 1
不难发现可以使用 Trie 树！
复杂度 O(N * 32)

并查集

原理

对每个集合，建立一个有根树的结构
令树的根为整个集合的“代表”
想知道两个元素是否在同一集合，只需比较它们的代表
合并时，将一棵树接到另一棵下边即可

优化策略

路径压缩
按秩合并（不考虑路径压缩的情况下，秩为该树的最大深度（最深叶节点的深度））
可以证明，使用这两种优化的并查集复杂度为 O(α(n))
绝大多数情况这个值不大于 5，可以认为是线性的

应用

最小生成树的 Kruskal 算法
Tarjan’s off-line LCA Algorithm

带权

在一些应用中，可以在每个点上额外维护一些信息，表示“它与父亲”之间的关系
进而尝试推算集合中任意两个元素之间的关系

经典例题

帮派：
某市有两个帮派，有 N 个人，每个人属于两个帮派之一。
给定 M 个事件：
1 x y，表示告诉你 x 和 y 属于同一帮派
2 x y，表示告诉你 x 和 y 不属于同一帮派
3 x y，表示请你推理 x 和 y 之间的关系
N <= 5 * 10^5, M <= 10^6
给每个人额外维护一个标记 rel[x] 表示 x 和 x 的父亲的关系
由 rel[x] 和 rel[fa[x]] 可以推算 x 和 fa[fa[x]] 的关系。。。以此类推可以推算 x 和 Root[x] 的关系
于是任意两个人只要在同一连通块，就能推算他们的关系
问题：这个并查集如何使用路径压缩优化呢？

只按秩合并

经典例题

给定 N 个点，支持 M 个操作：
1 x y，在 x 和 y 之间连边
2 x y，询问 x 和 y 是否连通，如果是，那它们最早在哪一次操作之后连通的
N <= 2 * 10^5, M <= 5 * 10^5
@货车运输
离线的时候可以建树倍增 blabla。。。
强制在线呢？
只按秩合并，link(x, y, tim) 时，我们在 Root[x] 和 Root[y] 之间连一条边权为 tim 的边
询问 (x, y) 时，找到 x 和 y 之间边权最大的边即可
这种算法‘的复杂度是容易证明 O(\log N) 的
正确性？

优先队列

支持这样几种操作的数据结构：
插入一个优先级为 key 的元素
询问优先级最高的元素
删除优先级最高的 / 任意一个元素
升高一个元素的优先级值
优先队列一般使用堆来实现
最经典的堆即为大名鼎鼎的二叉堆

二叉堆

二叉堆是一个完全二叉树结构，并且它具有堆性质：
每个点的优先级高于它的两个孩子（如果有）
可以用一个数字来存储二叉堆，避免指针：
1 是根结点
对于 x，它的左右孩子分别是 2x 和 2x+1
容易验证 N 个点的二叉堆，它用到的数组即为 1 ~ N
给定一个大小为 N 的数组，我们可以 O(N) 的建堆（How？

操作

随着操作的进行，二叉堆的“堆性质”可能会遭到破坏，为此我们定义两种调整操作，来维护二叉堆的堆性质保持不变
向上调整：
当一个点的优先级升高时，我们需要向上调整
比较它和它的父亲的优先级，它的优先级高就与父亲交换位置并递归进行
向下调整：
当一个点的优先级降低时，我们需要向下调整
比较它和它左右儿子中优先级较高的那个，它的优先级低就与儿子交换并递归下去
容易验证两种操作的复杂度均为 O(\log N)

线段树入门

线段树是一种二叉搜索树，一般可以用来维护序列的子区间

结构

对一个长度为 n 的序列建线段树，根结点即表示 [1, n]
对于一个表示 [l, r] 的节点：
若 l = r，则它是叶子
否则，令 m = (l + r) / 2，它有左右两个孩子，分别记为：[l, m] 和 [m + 1, r]
不难验证，这样一个线段树中有 2N - 1 个节点，并且树的深度是 O(\log N) 级别

原理

线段树的优化思想：
根据问题的要求，用每个节点维护它对应的子区间中、可以高效合并的相关信息
在动态的序列问题中，对于修改操作没有动过的部分。我们可以考虑把这些地方的求解的结果保存并复用，从而达到优化程序效率、降低复杂度的目的

例题

(1)给定一个长度为 N 的序列，支持：
修改一个位置的值
查询一个子区间的元素和
线段树每个节点维护对应子区间的和
区间覆盖：
对于一个区间 [l, r]，我们可以将其分解为线段树上 O(\log N) 个节点的并；
这里的分解是指，我们选取的区间并起来恰好为 [l, r]。且选择的区间不会相互重叠
修改操作中，为了维护线段树性质，需要修改总共 O(\log N) 个节点
查询操作，将区间拆为 O(\log N) 个区间的并，从而优化查询的复杂度
总时间复杂度 O(\log N)

(2)有 N 头牛，第 i 头牛的高度为 i
现在这 N 头牛随意站成一列，第 i 头牛看到前面有 a[i] 个牛的比它高
求每个位置的牛的高度
N <= 2 * 10^5
(3)等差子序列
给定一个 1 ~ N 的排列
问：是否存在一个长度 >= 3 的等差子序列
N <= 2 * 10^5
考虑是否存在一个以 x 为中项的、长度为 3 的等差序列
这等价于：存在 k > 0，使得 x-k 和 x+k 在 x 的两侧
我们用两个二进制数，分别记录：在 x 左侧的， 1 ~ x-1 和 x+1 ~ N 的存在情况
于是，判断 k 的存在性与判断两个二进制数的相等是等价的
从左到右扫描每一个数，用线段树维护、查询每一段连续的数的存在情况（使用 BKDR-hash），就能支持快速合并了

(4)给定一个序列，支持：
区间加上一个整数 x
询问区间的和
修改操作暴力进行，复杂度为 O(N)
使用懒标记
把修改操作分解为 O(\log N) 个线段树区间的并
在这些线段树区间上打一个“整体被加了 x” 的标记
将来必要的时候再将标记下放

树状数组

一种支持单点修改和查询前缀和的数据结构
复杂度为 O(\log N)，但是常数很小

原理

定义 lowbit(x)，表示将 x 写成二进制后，只保留二进制下最低一个 1 对应的整数
例：lowbit(1001100) = 100, lowbit(1000) = 1000
十进制：lowbit(76)=4, lowbit(8) = 8
对一个数组 a[]，我们构造数组 c[]，其中
c[i] = sum (. a[i - lowbit(i) + 1 … i] )
巧妙的事情来了：
我们查询 a[] 的前缀和只需要访问 c 中 log N 个节点
修改 a[] 中任意一个元素的值，只需要同时修改 c 中的 log N 个节点
于是可以在 O(\log N) 的时间内支持单点修改、前缀和查询

树状数组 vs 线段树

复杂度均为 O(\log N)
优点：

树状数组常数小、跑得快；线段树常 数较大，跑得稍慢
树状数组相比线段树好实现
树状数组可以比较简单地推广到二维

不足：

树状数组的功能是线段树的子集

二维树状数组

对二维数组 a[][]，维护 c[][] 表示
c[i][j] = sum( a [ i-lowbit(i)+1 … i] [ j-lowbit(j)+1 … j] )
可以支持二维数组的单点修改、查询前缀矩形的和
复杂度 O(\log^2 N)

区间加+区间查询

想支持对数组 a[] 的区间加整数、区间查询和
考虑 a[] 的差分数组 b[i] = a[i] - a[i - 1]
区间加对 b[] 只修改两个位置！
同时，为了支持查询 a[] 的前缀和，经过一番推导，发现只需维护 b[i] 和 i * b[i] 的前缀和即可
复杂度 O(\log N)