35、矩阵相关理论与应用：从低秩估计到相位恢复

矩阵相关理论与应用：从低秩估计到相位恢复

1. 次高斯设计与低秩矩阵估计

在矩阵分析中，次高斯设计是一个重要的概念。一个标量值随机变量 (X) 若满足对于所有的 (\lambda \in R)，有 (Ee^{\lambda X} \leq e^{\lambda^2\sigma^2/2})，则称其为参数为 (\sigma) 的次高斯随机变量。对于每个 (A \in H_{m\times m}(C))，内积 (\langle A, X\rangle) 是一个次高斯标量值随机变量。这一模型与压缩感知中的随机设计密切相关，并且可以利用高维概率中强大的工具进行研究。

常见的次高斯设计有高斯设计和拉德马赫设计：
- 高斯设计 ：(X) 是一个实对称随机矩阵，其中 ({X_{ij} : 1 \leq i \leq j \leq m}) 是独立的、均值为 0 的正态随机变量，且 (EX_{ij}^2 = 1)（(i = 1, \cdots, m)），(EX_{ij}^2 = \frac{1}{2})（(i < j)）。
- 拉德马赫设计 ：(X_{ii} = \varepsilon_{ii})（(i = 1, \cdots, m)），(X_{ij} = \frac{1}{2}\varepsilon_{ij})（(i < j)），其中 (\varepsilon_{ij} : 1 \leq i \leq j \leq m) 是独立同分布的拉德马赫随机变量，即取值为 +1 或 -1 的概率均为 (\frac{1}{2})。

在这两种情况下，都有 (E|\langle A, X\rangle|^2