36、矩阵补全与高维协方差矩阵估计相关技术解析

矩阵补全与高维协方差矩阵估计相关技术解析

1. 基于矩阵补全的相位恢复

1.1 相位恢复问题等价转换

在相位恢复中，通过最小化每次迭代时函数 (f) 的切线近似来解决问题，对于有噪声的情况也可求解。在估计单位迹的厄米非负定矩阵 (R)（如量子系统的密度矩阵和测量数据的协方差矩阵）时，基于 (n) 个独立同分布的测量 ((X_1, Y_1), \cdots, (X_n, Y_n))，其中 (Y_i = Tr (RX_i) + W_i)（(i = 1, \cdots, n)）。当令 (R = X)，(X_i = A_i)，(Y_i = b_i) 时，相位恢复问题就等价于该测量问题。

1.2 相空间断层扫描

1.2.1 相关函数定义

考虑由解析信号 (V (r, t)) 的统计平稳系综表示的准单色光。对于任何广义平稳（WSS）随机过程，其“系综互相关函数” (\Gamma (r_1, r_2; t_1, t_2)) 与时间原点无关，可由相应的时间互相关函数代替，该函数仅通过时间差 (\tau = t_2 - t_1) 依赖于两个时间参数，即 (\langle\Gamma (r_1, r_2; \tau)\rangle = E [V^ (r_1, t) V (r_2, t + \tau)] = \langle V^ (r_1, t) V (r_2, t + \tau)\rangle = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} V^*(r_1, t) V (r_2, t + \tau) dt)。当 (\tau = 0) 时，(\Gamma (r_1, r_2; 0