数据结构和算法 数论 概述

1、数论概述 

        算法导论说：“数论曾经被视为一种虽然优美但却没什么用处的纯数学学科。如今，数论算法已经得到了广泛的使用。这很大程度上要归功于人们发明了基于大素数的加密方法。快速计算大素数的算法使得高效加密成为可能，而目前其安全性的保证则依赖于缺少高效将合数分解为大素数之积（或求解相关问题，如计算离散对数）方法的现状。”

        数论是一门研究整数性质的数学学科。在我国古代和西方都有对数论相关问题的探讨，有些基本问题在我国古代研究得更早。不过由于西方研究得更为系统，因此数论中的很多概念是采用西方数学家所定义的。

        数论的起源可以追溯到公元前300年，当时古希腊著名数学家欧几里得发现了数论的本质是素数。这主要记载在欧几里得的著作《几何原本》中，距今已有两千多年的历史。在该书中，欧几里得证明了素数具有无穷多个。随后，大概在公元前250年，古希腊数学家埃拉托塞发现了素数的一种筛选法。借此，数学家可以对所有整数中的素数进行筛选。

        在西方国家，特别是古希腊，是数论的发源地。当时的数学家主要对整除性这个基本的数论问题进行了系统的研究。在我国古代，也有很多数学家讨论了数论的内容，如最大公因数、不定方程的整数解等。

        在随后的年代，由于西方国家采用了更为方便的阿拉伯数字来进行计数，数论问题更多地被西方数学家研究。但是，每个数学家都只研究数论的一个或一些方面，并没有归为一个系统的科学。

        在18世纪末，被誉为“数学王子”的德国数学家高斯，完成了经典著作《算术研究》。在《算术研究》中，高斯将历代的数论问题进行统一的符号处理，将已有的成果进行系统化，并提出了很多新的概念和研究方法。这样，数论才真正走向成熟，成为一门独立的学科。

        随后，随着数学研究的深入，更多的数论研究工具和成果出现，使得数论不断繁荣。

        在国外，欧几里得、费马、欧拉、高斯、拉马努金等赫赫有名的数学家都曾经在数论领域有所研究。在国内，华罗庚、陈景润、王元也是世界著名的数论研究学者。中国古代的《周髀算经》、《孙子算经》和《九章算术》等都记载了数论的相关研究成果。例如，著名的中国剩余定理（也称为孙子定理），比西方国家要早500年。

2、数论的分类

        按照研究方法的复杂程度，数论可以简单地分为初等数论和高等数论。其中初等数论也称为古典数论，而高等数论也称为近代数论。高等数论按照研究方法的不同，还可以细分为代数数论、解析数论等。下面简单介绍一下不同数论的研究方法和内容。

1）初等数论

        初等数论是数论中最为古老的一个分支，其以初等、算术、朴素的方法来研究数论问题。初等数论起源于古希腊，当时毕达哥拉斯及其学派研究诸如亲和数、完全数、多边形数等基本问题。到了公元前4世纪，欧几里得在其著作《几何原本》中建立了完整的体系，并初步建立了整数的整除理论。

        初等数论中非常经典的成就包括算术基本定理、中国剩余定理、欧拉定理、高斯的二次互逆律、勾股方程的商高定理、欧几里得的质数无限证明等。

2）解析数论

        解析数论的创始人是德国数学家黎曼。解析数论使用现代微积分及复变函数分析等方法来研究整数问题。通过黎曼zeta函数与素数之间的奇妙联系，可以获得很多素数的性质。著名的黎曼假设也是现代数学中一个著名的难题。

3）代数数论

        代数数论在代数数域来研究整数，将整数环的数论性质研究扩展到了更为一般的整环中。在代数数论中，一个重要的目标就是解决不定方程的求解问题。

4）几何数论

        几何数论通过几何的方法来研究整数的分布情况，从中获取整数的一些性质。几何数论是俄国数学家闵科夫斯基创立的。

5）计算数论

        计算数论是伴随着计算机的产生而产生的，借助于高性能计算机的计算能力来解决数论问题。例如，典型的素数测试和质因数分解等。在信息安全领域，公钥密码的基础便是基于质因数分解的。

6）超越数论

        超越数论主要研究数的超越性，同时也研究数的丢番图逼近理论和欧拉常数。

7）组合数论

        组合数论由艾狄胥首先创立，其利用了排列组合和概率的技巧来解决一些初等数论无法解决的复杂问题。

8）算术代数几何

        算术代数几何是最新的研究方向，其从代数几何的角度出发，通过深刻的数学工具来研究数论问题和整数的性质。这方面近期的一个最伟大的成就便是费马大定理的证明，由普林斯顿大学的英国数学家外尔斯完成，几乎用到了当时最深刻的理论工具。

3、基础数论的概念

・自然数：一般将大于等于0的正整数称为自然数。

・因数：一个数的因数就是所有可以整除这个数的数。

・倍数：如果一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一个整数的倍数。

・因子：一个数的因子就是所有可以整除这个数的数，而不包括该数本身。因子也称为真因数。

・奇数：整数中，不能够被2整除的数。

・偶数：整数中，能够被2整除的数。

・素数：又称为质数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，无法被其他自然数整除的数。

・调和数：如果一个正整数的所有因子的调和平均是整数，那么这个正整数便是调和数。调和数又称为欧尔数或者欧尔调和数。

・完全数：完全数等于其所有真因子的和，完全数又称完美数或完备数。

・亏数：亏数大于其所有真因子的和。

・盈数：盈数小于其所有真因子的和。

・亲密数：如果整数a的因子和等于整数b，整数b的因子和等于整数a，因子包括1但不包括本身，且a不等于b，则称a、b为亲密数对。

・水仙花数：指一个n位数（n≥3），它的每个位上的数字的n次幂之和等于它本身。

・阿姆斯特朗数：其值等于各位数字的n次幂之和的n位数，又称为n位n次幂回归数。

・自守数：指一个数的平方的末尾几位数等于该数自身的自然数。

・最大公约数：指某几个整数共有因子中最大的一个

・最小公倍数：指某几个整数共有倍数中最小的一个。