矩阵快速幂模板

本文提供了一种使用矩阵快速幂求解递推表达式的方法,并给出了两种实现方式:一种使用了运算符重载,另一种则没有。这两种方法都可以高效地计算矩阵的幂次,适用于解决涉及大量递推计算的问题。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

矩阵快速幂模板,可用于求一个递推表达式的f(n)

 

重载运算符版:

 

 

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<stack>

using namespace std;

const double EXP = 1e-9;
typedef long long ll;
const ll maxn = ;//确定矩阵大小
const ll mod =  ;   //取余数用

struct mat
{
    ll m[maxn][maxn];
}unit;        //unit为单位矩阵

mat operator *(mat a,mat b)   //俩矩阵相乘
{
    mat ans;
    ll x,i,j,k;
    for(i=0;i<maxn;i++)
    {
        for(j=0;j<maxn;j++)
        {
            x=0;
            for(k=0;k<maxn;k++)
            {
                x+=(a.m[i][k]*b.m[k][j])%mod;
                x%=mod;
            }
            ans.m[i][j]=x%mod;
        }
    }
    return ans;
}

void init_unit()    //初始化单位矩阵
{
    for(ll i=0;i<maxn;i++)
        unit.m[i][i]=1;
    return ;
}

mat pow_mat(mat a,ll n)   //矩阵快速幂,求矩阵a的n次幂
{
    mat ans=unit;    //unit为幺元
    while(n)
    {
        if(n&1)
            ans=ans*a;
        a=a*a;
        n>>=1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    ll n,x,y;
    init_unit();
    scanf("%lld",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&n);
//        以下注释代码按具体情况而定
//        if(n==)
//            printf("\n")
//        else if()
//        else if()
        else
        {
            mat a,b;   //a为表达式矩阵,b为快速幂矩阵
//            以下为俩矩阵的初始化
//            b.m[0][0] = ,b.m[0][1] = ,...
//            b.m[1][0] = ,...
//            ...
//
//            a.m[0][0] = ,...
//            ...
            b = pow_mat(b,x);//x次幂视具体题目而定
            a = a*b;
            printf("%lld\n",(a.m[0][0]+mod)%mod);
        }
    }
    return 0;
}

 

 

 

 

 

 

无重载运算符版:

 

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<stack>

using namespace std;

const double EXP = 1e-9;
typedef long long ll;
const ll maxn =    //确定矩阵大小
const ll mod =     //取余数用

struct mat
{
    ll m[maxn][maxn];
}unit;   //unit为单位矩阵

mat matmul(mat a,mat b)  //俩矩阵相乘
{
    mat ans;
    ll x,i,j,k;
    for(i=0;i<maxn;i++)
    {
        for(j=0;j<maxn;j++)
        {
            x=0;
            for(k=0;k<maxn;k++)
            {
                x+=(a.m[i][k]*b.m[k][j])%mod;
                x%=mod;
            }
            ans.m[i][j] = x%mod;
        }
    }
    return ans;
}

void init_unit()   //初始化单位矩阵
{
    for(ll i=0;i<maxn;i++)
        unit.m[i][i] = 1;
    return ;
}

mat pow_mat(mat a,ll n)  //矩阵快速幂,求矩阵a的n次幂
{
    mat ans = unit;  //unit为幺元
    while(n)
    {
        if(n&1)
            ans=matmul(ans,a);
        a = matmul(a,a);
        n>>=1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    ll n,t;
    init_unit();
    scanf("%lld",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld",&n);
//        以下注释代码按具体情况而定
//        if(n==)
//            printf("\n")
//        else if()
//        else if()
        else
        {
            mat a,b;   //a为表达式矩阵,b为快速幂矩阵
//            以下为俩矩阵的初始化
//            b.m[0][0] = ,b.m[0][1] = ,...
//            b.m[1][0] = ,...
//            ...
//
//            a.m[0][0] = ,...
//            ...
            b = pow_mat(b,x);//x次幂视具体题目而定
            a = matmul(a,b);
            printf("%lld\n",a.m[0][0]%mod);
        }
    }
    return 0;
}

 

 

 

 

 

### 矩阵快速幂算法的实现 矩阵快速幂是一种高效的算法,用于计算矩阵的高次幂。它基于分治的思想以及矩阵乘法的结合律来降低时间复杂度。以下是矩阵快速幂的一个通用代码模板: #### Python 实现 ```python import numpy as np def matrix_multiply(A, B, mod=None): """矩阵相乘""" rows_A, cols_A = len(A), len(A[0]) rows_B, cols_B = len(B), len(B[0]) if cols_A != rows_B: raise ValueError("无法进行矩阵乘法") result = [[0 for _ in range(cols_B)] for __ in range(rows_A)] for i in range(rows_A): for j in range(cols_B): temp_sum = 0 for k in range(cols_A): temp_sum += A[i][k] * B[k][j] if mod is not None: temp_sum %= mod result[i][j] = temp_sum return result def matrix_power(matrix, n, mod=None): """矩阵快速幂""" size = len(matrix) identity_matrix = [[int(i == j) for j in range(size)] for i in range(size)] result = identity_matrix base = matrix while n > 0: if n % 2 == 1: result = matrix_multiply(result, base, mod=mod) base = matrix_multiply(base, base, mod=mod) n //= 2 return result ``` 上述代码实现了两个核心函数: - `matrix_multiply`:完成两个矩阵之间的乘法操作,并支持模运算[^1]。 - `matrix_power`:通过快速幂的方式高效地计算矩阵的高次幂。 #### C++ 实现 对于更注重性能的语言如C++,也可以提供类似的实现方式: ```cpp #include <vector> using namespace std; // 定义矩阵大小和取模值 const int MOD = 1e9 + 7; typedef vector<vector<long long>> Matrix; Matrix multiply(const Matrix &A, const Matrix &B){ int r = A.size(), c = B[0].size(); Matrix C(r, vector<long long>(c, 0)); for(int i = 0;i < r;i++) { for(int j = 0;j < c;j++) { for(int k = 0;k < (int)B.size();k++) { C[i][j] = (C[i][j] + A[i][k]*B[k][j])%MOD; } } } return C; } Matrix power(Matrix base, long long exp){ int sz = base.size(); Matrix res(sz, vector<long long>(sz, 0)); // 单位矩阵初始化 for(int i = 0;i < sz;i++) res[i][i] = 1; while(exp > 0){ if(exp & 1){ // 如果当前指数为奇数 res = multiply(res, base); } base = multiply(base, base); // 平方更新基底 exp >>= 1; // 右移一位相当于除以2 } return res; } ``` 以上代码同样包含了两部分功能: - `multiply` 函数负责执行矩阵间的乘法并处理大整数溢出问题[^4]。 - `power` 函数则采用快速幂的方法加速矩阵幂次的计算。 #### 应用实例——斐波那契数列 假设我们需要使用矩阵快速幂求解第 \(n\) 项斐波那契数列,则可以通过如下构造矩阵来进行计算: \[ M = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, V_0 = \begin{bmatrix} F(1)\\ F(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}. \] 那么有 \(\text{{result}} = M^{n-1} \times V_0\) 表示最终的结果向量[^3]。 --- ###
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值