程序设计思维与实践 Week10 B - LIS & LCS

最新推荐文章于 2020-06-13 00:18:31 发布

原创最新推荐文章于 2020-06-13 00:18:31 发布 · 186 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

本文深入探讨了两种关键的序列算法——最长上升子序列与最长公共子序列。详细讲解了各自的定义、状态转移方程及其实现代码，为理解序列算法提供了清晰的路径。

题意：

input：

output:

思路:

1、最长上升子序列，对于给定的一串数，定义f[i]为以A[i]结尾的长度。转移方程为fi=max{fj | j<i && Aj<Ai}+1。首先将第一个数的长度赋为1，从第一个数开始遍历，到第i个数的时候，遍历 j 为0到i-1的数，其中A[j]要比当前的A[i]小，才能接上去，找到在这其中的已有的最大的f[j]，将f[i]接上去，并加1，即可得到最大的。复杂度n^2.

2、最长公共子序列，对于给定的两串数，设f[i][j]为A[]数组遍历到i，B[]数组遍历到j的时候，其两个的相同的数。
首先初始化f[i][0]，f[0][j]， f[0][0]，都为0。易知，其不会有相同的数。
状态转移：即对当前的A[i]和B[i]，如果相等，则已有的数加1，并计算其f[i-1][j-1]的个数，并加上1。若不相等，则其中的一个回退1，并取两个回退的最大值，即
f[i][j]=max(f[i-1][]j，f[i][]j-1)；即为枚举其中一个数组的数，然后遍历另外一个数组的数，来求得最大的数。
综上，转移方程为：A[i]==B[j] : f[i][j]=f[i-1][j-1]+1；
else: f[i][j]=max(f[i-1][]j，f[i][]j-1)。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

int n, m;
long long A[5010], B[5010];
long long f1[5010]; //记录最长上升子序列
long long f[5010][5010];

long long ans1=0;

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> A[i];
	}
	for(int i=1; i<=m; i++){
		cin>>B[i];	
	}
	memset(f1, 0, sizeof(f1));
	memset(f, 0, sizeof(f));
	f1[1] = 1;
	
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		long long m1 = 0;
		for (int j = 1; j < i; j++) {
			if (A[j] < A[i]) m1 =max(m1,f1[j]);
		}
		f1[i]=m1+1;
		ans1 = max(ans1,f1[i]);
	}	
	
	for(int i=1; i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			if(A[i]==B[j]) f[i][j]=f[i-1][j-1]+1;
			else f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
		}
	}
	cout<<ans1<<" "<<f[n][m]<<endl;
	
	return 0;

}