程序设计思维与实践 Week10 C拿数问题

最新推荐文章于 2022-07-01 08:59:56 发布

原创最新推荐文章于 2022-07-01 08:59:56 发布 · 135 阅读

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本文探讨了一种经典的拿数问题变形，即在序列中选取数值时，避免选取相邻数值加减1的情况，同时深入分析了解题思路和状态转移方程，通过实例代码展示了如何利用动态规划高效求解最大分数。

题意：

给一个序列，里边有 n 个数，每一步能拿走一个数，比如拿第 i 个数， Ai = x，得到相应的分数 x，但拿掉这个 Ai 后，x+1 和 x-1 (如果有 Aj = x+1 或 Aj = x-1 存在) 就会变得不可拿（但是有 Aj = x 的话可以继续拿这个 x）。求最大分数。

input:

第一行包含一个整数 n (1 ≤ n ≤ 105)，表示数字里的元素的个数。
第二行包含n个整数a1, a2, …, an (1 ≤ ai ≤ 105)

Output：

输出一个整数：n你能得到最大分值。

思路：

观察可知这是上课说的拿数问题的变形：
首先回忆一下原先的题目：即对于n个数，拿走了第i个数后，其i+1和i-1的数不可以再拿，求可以拿的最大的分数。
其有状态：dp[i]表示仅考虑A[1-i]可以拿到的最大的分数。
状态转移方程有：dp[i]=max(dp[i-1]，dp[i-2]+A[i])，即为拿A[i]和不拿A[i]。
在这里插入图片描述

对现在的来说：对n个数拿了其中A[i]的数，则不可以拿A[i]-1和A[i]+1的数。并且所有A[j]=A[i]的数都可以拿。再这可以发现原先由下标的转移变成了由所存储的数的转移。即可用两个数组，一个数组用来存储对应的数，另一个数组用来存储这个数的次数。每次选择这个数的时候，即加上数乘以数的出现次数。
在这一开始想的直接存储数i个数，进行选择，在函递归的时候，用另一个参数k来表示其上一个数有没有选，再判断上一个数是不是刚好比当前数大1。直接递归可以，但超时，如果用dp[i]存储每个求得数，在这里又因为有出现分支，并不能保证每个存储的都是最优的。因此出现问题。
后来即保存了这些数的最大值和最小值，直接在最大值和最小值中进行选择，如果其中的数没有出现的则次数为0，故分数为0。经过这样的转化后，即将以数为求解的转化成了以坐标为求解的方式，即和一开始的一样。不过，这和递归的写法竟然卡时间了，后来换成for，从小到大的求解，才过了。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int m=100010;
long long tot[m], dp[m];
long long m_in, m_ax;

int n;
int main(){
	cin>>n;
	long long t;
	memset(tot,0,sizeof(tot));
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	m_in=0, m_ax=0;  //记录上下界 
	for(int i=0; i<n; i++){
		cin>>t;
		tot[t]++;
		m_in=min(t,m_in);
		m_ax=max(t,m_ax);
	}
	//从m_in到m_ax，和课上的一样
	for(long long i=m_in; i<=m_ax;i++){
		dp[i]=max(dp[i-1],dp[i-2]+tot[i]*i);
	}
	cout<<dp[m_ax]<<endl;
	return 0;
	
}