HDU5608 function（杜教筛）

HDU5608 function（杜教筛）

题目大意

给出一个函数其满足
$$N^2-3N+2=\sum _{d|N}f(d)$$
求${\sum }_{i=1}^{n}f(i)$

解题思路

很明显的杜教筛，它甚至帮你把需要构造的卷积给出来了，对着做就行了。可以发现原函数本质就是莫比乌斯函数卷积上那个多项式，为了方便求前缀和，得把多项式拆开和莫比乌斯函数卷积，这样卷积得结果就是积性函数了，就可以方便得线性求出了

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int size=1e6+5;
const int mod=1e9+7;
int p[size],tot,mu[size];
int minn_prime[size];
bool prime[size];
int f2[size],f1[size];
int f[size];
int inv6;
unordered_map<int,int> mp;
int quick_pow(int a,int b){int ans=1;while(b){if(b&1) ans=1LL*ans*a%mod;a=1LL*a*a%mod;b>>=1;}return ans;}
void init()
{
    mu[1]=1;f2[1]=1;f1[1]=1;
    for(int i=1;i<size;i++) prime[i]=true;
    for(int i=2;i<size;i++)
    {
        if(prime[i])
        {
            p[++tot]=i;
            mu[i]=-1;
            minn_prime[i]=i;
            f1[i]=i-1;
            f2[i]=(1LL*i*i%mod-1+mod)%mod;
        }
        for(int j=1;j<=tot&&p[j]*i<size;j++)
        {
            prime[i*p[j]]=false;minn_prime[i*p[j]]=p[j];
            if(i%p[j]==0)
            {
                mu[i*p[j]]=0;
                f1[i*p[j]]=f1[i]*p[j];
                f2[i*p[j]]=1LL*f2[i]*p[j]%mod*p[j]%mod;
                break;
            }
            else {
                mu[i*p[j]]=-mu[i];
                f1[i*p[j]]=f1[i]*f1[p[j]];
                f2[i*p[j]]=1LL*f2[i]*f2[p[j]]%mod;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<size;i++) f[i]=(f2[i]-3LL*f1[i]+mod)%mod;
    f[1]=(f[1]+2)%mod;
    f[0]=0;
    for(int i=1;i<size;i++) f[i]=(f[i-1]+f[i])%mod;
    inv6=quick_pow(6,mod-2);
}
int Sum2(int n)
{
	return 1LL*n*(n+1)%mod*(2*n+1)%mod*inv6%mod;
}
int Sum1(int n)
{
	return 1LL*(n+1)*n/2%mod;
}
int S(int n)
{
	if(n<size) return f[n];
	if(mp.count(n)) return mp[n];
	int ans=(Sum2(n)-3LL*Sum1(n)+2*n)%mod;
	for(int l=2,r;l<=n;l=r+1)
	{
		r=n/(n/l);
		ans=(ans-1LL*(r-l+1)*S(n/l)%mod+mod)%mod;
	}
	return mp[n]=ans;
}
int main()
{
    init();
    int t;
    int n;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        if(n<size)
        {
            printf("%d\n",f[n]);
        }
        else
        {
            printf("%d\n",S(n));
        }
    }
}