HYSBZ - 2818 Gcd（欧拉函数）

原创于 2019-02-20 21:12:38 发布 · 283 阅读

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本文介绍了一种使用欧拉函数解决特定数学问题的方法，即求解在给定整数N范围内，所有满足条件Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)的数量。通过巧妙地转换公式和应用欧拉函数，文章详细阐述了解题过程，并提供了一份AC代码实现。

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HYSBZ - 2818 Gcd（欧拉函数）

题目大意

给定整数N，求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对.

解题思路

也可以用莫比乌斯反演做.但是现在特别使用欧拉函数做.

据题意本题即是求
$\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}[gcd(i,j)=p](p为素数)$
不妨将原式进行转化
$\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N[gcd(\frac{i}{p},\frac{j}{p})=1]$
确定一个 $ip\frac{i}{p}$ 则数量就是 $ϕ(ip)\phi({i\over p})$

也就可以转化成（除去两个1这将重复）
$\sum^{p为小于N的素数}\{2*\sum_{j=1}^{[N/p]}\phi(j)-1\}$

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int size=1e7+5;
bool prime[size];
int p[size];int num;
int phi[size];
LL ans[size];
void init()
{
	phi[1]=1;
	ans[1]=1;
	ans[0]=0;
	fill(prime,prime+size,true);
	for(int i=2;i<size;i++)
	{
		if(prime[i]){p[++num]=i;phi[i]=i-1;}
		for(int j=1;j<=num&&p[j]*i<size;j++)
		{
			prime[p[j]*i]=false;
			if(i%p[j]==0)
			{
				phi[i*p[j]]=p[j]*phi[i];
				break;
			}
			else phi[i*p[j]]=phi[i]*phi[p[j]];
		}
	}
}
int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	init();
	for(int i=1;i<=n;i++) ans[i]=ans[i-1]+phi[i];
	LL fans=0;
	for(int i=1;i<=num;i++) if(p[i]>n)break;else fans+=ans[n/p[i]]*2-1;
	printf("%lld\n",fans);
}