CodeForces - 492E Vanya and Field(逆元)

最新推荐文章于 2020-09-08 17:14:29 发布

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分类专栏：数论 codeforce

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本文详细解析了CodeForces-492E问题，利用逆元概念解决Vanya和Field问题，通过数学推导确定最优起点以覆盖最多苹果树位置，给出AC代码实现。

CodeForces - 492E Vanya and Field(逆元)

题目大意

给出一个 $n×nn\times n$ 的坐标纸，其上有m棵苹果树，给出 $d x, d y$ 假设当前位置为 $x, y$ 则每次行动之后的位置会变成 $n(x+dx)mod\ n,(y+dy)mod\ n$ 问从哪个位置开始可以经过尽可能多的苹果树

解题思路

对于一个给定的位置 $x_0,y_0)$ 其能经过的所有点都可以表示为
$x_0+k*dx\equiv x(mod\ n)\\ y_0+k*dy\equiv y(mod\ n)$
其中 $x, y$ 为从初始位置开始所能经过所有的点的位置的坐标

由于 $g c d (d x, n) = 1, g c d (d y, n) = 1$ 因此可对上二式除dx,dy(且一定有逆元),则变成
$x_0*inv(dx)+k\equiv x*inv(dx)(mod\ n)\\ y_0*inv(dy)+k\equiv y*inv(dy)(mod\ n)$
上下两个式子做差,则有
$x_0*inv(dx)-y_0*inv(dy)\equiv x*inv(dx)-y*inv(dy)(mod\ n)$
其中 $x_0*inv(dx)-y_0*inv(dy)$ 为一常数，由此可得所有 $n(x*inv(dx)-y*inv(dy))mod\ n$ 相等的点之间都可以互相到达.因此依之进行统计即可

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
typedef pair<int,int> pii;
typedef long long LL;
unordered_map<LL,int> mpn;
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    LL ret=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return ret;
}
LL getInv(int a,int mod){
    LL x,y;
    LL d=exgcd(a,mod,x,y);
    return d==1?(x%mod+mod)%mod:-1;
}
int32_t main()
{
	int n,m,dx,dy;
	cin>>n>>m>>dx>>dy;
	int invdx=getInv(dx,n),invdy=getInv(dy,n);
	int x,y;
	int nums=0;
	pii ans;
	while(m--)
	{
		cin>>x>>y;
		int xy=((1LL*x*invdx-1LL*y*invdy)%n+n)%n;
		if(!mpn.count(xy))
		{
			mpn[xy]=1;
		}
		else mpn[xy]++;
		if(mpn[xy]>nums) nums=mpn[xy],ans=pii(x,y);
	}
	cout<<ans.first<<' '<<ans.second<<endl;
}