高级数据结构之Fenwick Tree（Binary Indexed Tree）

最新推荐文章于 2025-08-28 20:35:05 发布
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分类专栏： 数据结构与算法分析 文章标签： 二叉索引树 Fenwick Tree 数据结构 Binary Indexed LeetCode 307
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/baimafujinji/article/details/68063586
Fenwick Tree（二叉索引树）是一种高级数据结构，用于快速进行区间和查询及元素更新。文章介绍了Fenwick Tree的设计动机，构建与更新方法，以及查询操作，并提供了在LeetCode 307题中的应用示例。

Fenwick Tree也叫做树状数组，或者二叉索引树（BIT，Binary Indexed Tree），由新西兰奥克兰大学的Peter Fenwick博士于1994年提出。Fenwick Tree用数组来表示一棵树（这样空间上更节约），所以它的结点中没有指向左右孩子的指针这样的设计。它可以用于对区间和（range sum）进行快速查询，其元素修改和区间查询的复杂度都是O(\log{n})。

 

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本博客中，高级数据结构专题已经涵盖的文章包括：

  1. 高级数据结构之Fenwick Tree（Binary Indexed Tree）
  2. 高级数据结构之线段树（Segment Tree）
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Fenwick树（Binary Indexed Tree）是一种用于支持范围更新和点查询算法的数据结构
2301_79326254的博客
08-14 242
Fenwick树是一种用于高效处理动态前缀和问题的数据结构。它通过对存储空间进行巧妙的分配，使得每个节点可以表示一个区间的累积和。相比于其他数据结构，Fenwick树具有较小的内存占用和更快的查询和更新速度。Fenwick树的核心思想是利用二进制表示的数字特性，将每个节点划分为若干个区间，并使用累积和来表示这些区间。每个节点的值等于其对应区间中所有元素的和。具体而言，假设节点i的二进制表示形式为"xyz"，其中x、y、z是二进制位，那么节点i的值即为区间[i-2^{z}+1, i]中所有元素的和。
Fenwick Tree
EndAC的博客
06-05 5145
Fenwick树，俗称树状数组也就是二叉索引树(Binary Indexed Tree,BIT)支持快速区间信息的维护和查询 O(nlog n)预处理 O(log n)维护和更新 对于给定一个n个元素的数组A 支持下面两个操作 1 add(x,d): 让A[x]增加d 2 query(l,r): 计算A[l]+A[l+1]+…+A[r]
树：Fenwick Tree | 二叉索引树
新华编程特战队
01-22 1912
概述二进制索引树是一种数据结构，用于有效地计算数字序列（数组）的前缀和。它也被称为芬威克树，因为“彼得芬威克”通过他的论文将其介绍给世界“于1994年首次发布。Fenwick Tree简介当回答关于数组的多个前缀和（从索引 0 到索引 x 的数组元素之和，即 a[0]+a[1]+...+a[x]）查询时，我们脑海中首先浮现的想法是使用一个前缀和数组。在这里，如果我们想计算a[0]+a[1]+...+a[4]，我们不需要计算它，而是我们可以简单地。
valkey:深入理解 Fenwick Tree（BIT）
happytree001的博客
07-14 626
valkey 中bit的应用
6.10 Fenwick树
你的指尖有改变世界的力量
02-14 1397
本文详细介绍了Fenwick树的原理。
二叉树基础（三）树状数组（Fenwick Tree）
z2656453168的博客
10-02 559
二叉树基础（三）树状数组（Fenwick tree）概念lowbitlowbitlowbit运算结构代码基本操作update()update()update()sum()sum()sum()整体代码 概念 树状数组（Binary Indexed Tree, Fenwick Tree）是一种用于高效处理对一个存储数字的列表进行更新及求前缀和的数据结构。 lowbitlowbitlowbit运算 lowbit(x)lowbit(x)lowbit(x)是x的二进制表达式中最低位的1所对应的值，比如： (6)10=
树状数组（Binary Indexed Tree, BIT，或称 Fenwick Tree）
01-10
树状数组，也称为二进制索引树（Binary Indexed Tree, BIT）或Fenwick树，是一种高效的数据结构，特别适用于处理动态集合上的范围查询和单点更新问题。它在许多算法和数据处理任务中都有广泛应用，尤其是当需要频繁...
树状数组（Fenwick Tree / Binary Indexed Tree, BIT）
最新发布
ltrbless的博客
08-28 941
优点效率高：更新和查询都是 O(log N)。代码简短：易于实现，不易出错。空间开销小：只需要一个和原数组等大的辅助数组。局限只能处理满足结合律且有逆元的操作（如加减法、异或）。求区间最大/最小值这种操作无法直接用标准树状数组解决（需要特殊改造）。功能相对线段树较少，例如复杂的区间更新操作难以实现。常见应用单点修改，区间求和：最经典的应用。区间修改，单点查询：通过维护一个差分数组，将区间修改转化为两次单点修改，单点查询转化为一次前缀和查询。求逆序对。
c++树状数组模板Fenwick (Binary Indexed) Trees
m0_66655785的博客
05-25 919
树状数组（Fenwick Tree）是一种高效处理前缀和查询与单点更新的数据结构，时间复杂度为O(log n)。其核心思想是利用二进制分组（lowbit操作）快速定位区间，相比线段树实现更简单（仅需8-10行代码），空间占用更少。支持两种核心操作：单点更新（通过父节点链式修改）和前缀和查询（通过子节点递减累加）。典型应用包括动态前缀和、逆序数统计和元素排名维护。虽然不支持直接区间查询，但通过差分思想可扩展，在竞赛编程中因其简洁高效而广受欢迎。
树状数组（Binary Indexed Tree），看这一篇就够了
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正西风落叶下长安
03-09 5万+
定义 根据维基百科的定义： A Fenwick tree or binary indexed tree is a data structure that can efficiently update elements and calculate prefix sums in a table of numbers. 也就是说，所谓树状数组，或称Binary Indexed Tree,...
经典算法：Fenwick Tree
codename_cys的博客
06-04 1972
经典算法：Fenwick Tree (Binary Indexed Tree)
FenwickTree:Haskell中用于快速查询和更新累积总和的数据结构
06-18
芬威克树 Fenwick 树是用于更新累积和的 O(log N) 数据结构。 此实现带有一个操作，用于查找实值累积和达到特定值的最小元素，并允许在节点中存储任意信息。 请参阅。 官方发布在。 这个包也是的一部分一个稳定子集。
树状数组（fenwick tree）
ding7530的博客
07-31 839
　　树状数组又称芬威克树，概念上是树状，实际上是使用数组实现的，表现为一种隐式数据结构，balabala...详情请见：https://en.wikipedia.org/wiki/Fenwick_tree 　　其中`i += (i & -i)`的相当于求 $ 2^{n-1} , n \in 1,2,3... $，还可以写成`i += (i & (i ^ (i - 1))...
【算法笔记】树状数组/Binary Indexed Tree/Fenwick Tree
天生我材必有用，千金散尽还复来。
08-20 2196
树状数组，即树形存储的数组，又称或。抛开它树形的存储结构，这种神奇的数据结构的应用看起来与「 树」没什么关系：有一个序列A=(A1,A2,…,AN)A=(A1​,A2​,…,AN​)，在不超过O(log⁡N)O(logN)→\to~→求[L,R][L,R][L,R]区间内所有数之和。→\to~→指定一个元素AxA_xAx​，将其加上kkk。
二叉树算法之 Fenwick 树（Binary Indexed Tree, BIT）详细解读
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10-21 1445
Fenwick 树，也称为 树状数组 或 二进制索引树（Binary Indexed Tree, BIT），是一种用于处理动态数组前缀和查询和修改的数据结构。它提供了一种高效的方法来在动态数据中求解区间和问题，并支持单点更新和区间查询操作。
看动画学算法之:树状数组-BIT-Fenwick Tree
程序那些事
09-14 8797
Fenwick Tree也叫做树状数组，或者Binary Indexed Tree(BIT),是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要给定区间，求最值，或者求和。 接下来我们来具体讲解一下Fenwick Tree的概念。
数学分析闭区间套定理_一道数学分析证明题的解答
weixin_42659791的博客
12-31 1657
前几天，数学协会出了一道题，在数学分析中算稍有难度的证明题(对不同的人而言)，考察实数完备性定理的应用，下面给出解答。题如下： is non-constant and increasing on .Prove that there exists such that: 考虑区间套定理。区间套定理：设闭区间的序列 满足以下两个条件：(1)形成区间套： ;(2)区...
[转自花花]fenwick tree
qq_19450921的博客
02-10 172
UVa12086 - Potentiometers(树状数组即Fenwick树)
多看多听多总结
07-27 902
import java.io.FileInputStream; import java.io.InputStreamReader; import java.io.BufferedReader; import java.io.OutputStreamWriter; import java.io.PrintWriter; import java.io.StreamTokenizer; public
Fenwick tree
08-17
Fenwick Tree，又称为树状数组（Binary Indexed Tree），是一种基于数组实现的数据结构，用于高效地动态维护前缀和。它可以在O(logn)的时间内完成以下操作：更新某个元素的值，查询某个区间的和。Fenwick Tree的实现原理是将数组分解为一系列的区间和，每个区间和保存在树状数组的相应位置上。通过使用二进制的技巧，可以高效地计算每个区间和。： ``` public class FenWickTree { private int[] values; private int[] bit; public FenWickTree(int length) { values = new int[length]; bit = new int[length + 1]; } public void setValues(int index, int value) { values[index = value; index += 1; while (index < bit.length) { bit[index += value; index += index & -index; } } public int getSum(int index) { int sum = 0; while (index > 0) { sum += bit[index]; index -= index & -index; } return sum; } } ``` 以上代码展示了如何使用Fenwick Tree实现动态维护前缀和的功能。其中setValues()方法用于更新某个元素的值，getSum()方法用于查询某个区间的和。 另外，Fenwick Tree也可以用来解决区间修改的问题。对于元素的修改，我们可以视为区间查询的逆过程，通过从叶节点开始向上更新父节点，依次对每个父节点进行相同的修改操作。具体的实现可以参考下面的示例代码： ``` class FenwickTree { private int[] tree; public FenwickTree(int n) { tree = new int[n + 1]; } public int lowbit(int x) { return x & (-x); } public void add(int i, int val) { while (i < tree.length) { tree[i += val; i += lowbit(i); } } public int query(int i) { int res = 0; while (i > 0) { res += tree[i]; i -= lowbit(i); } return res; } } ``` 这段代码展示了如何使用Fenwick Tree解决区间修改的问题。add()方法用于修改某个元素，query()方法用于查询某个区间的和。 综上所述，Fenwick Tree是一种用于高效地动态维护前缀和的数据结构，可以在O(logn)的时间内完成更新和查询操作。同时，它也可以应用于区间修改的问题。 #### 引用[.reference_title] - *1* *3* [【数据结构与算法】树状数组](https://blog.youkuaiyun.com/zzy_NIC/article/details/130616434)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v92^chatsearchT3_1"}}] [.reference_item style="max-width: 50%"] - *2* [6.10 Fenwick树](https://blog.youkuaiyun.com/m0_66201040/article/details/122923027)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v92^chatsearchT3_1"}}] [.reference_item style="max-width: 50%"] [ .reference_list ]
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