Fenwick Tree

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#数据结构

Fenwick Tree，又称树状数组，是一种二叉索引树，用于快速区间信息的维护和查询。它提供O(nlog n)的预处理和O(log n)的更新与查询操作。通过低bit技巧，可以实现add(x,d)更新和query(l,r)查询功能，解决了传统前缀和在更新后的效率问题。初始化时，可以通过add(i,A[i])完成，具有较高的时间复杂度效率。" 122744412,12120508,西门子SinuTrain最新版仿真软件操作与调试,"['西门子', '数控系统', 'FPGA开发', '软件仿真', 'CSS']

Fenwick树，俗称树状数组

也就是二叉索引树(Binary Indexed Tree,BIT)

它的作用是什么呢

支持快速区间信息的维护和查询

为什么说是快速，因为它真的很快
O(nlog n)预处理
O(log n)维护和更新

先来看一个问题

给定一个n个元素的数组A
我们进行下面两个操作
1 add(x,d): 让A[x]增加d
2 query(l,r): 计算A[l]+A[l+1]+…+A[r]

怎么办

计算前缀和S，这可以在O(1)的时间解决query。但一旦进行add之后前缀后要重新算过。
不难发现如果进行add(x,d),对前面的前缀和是没有影响的，所以只要更新x之后的就好了
但其实还是不行，以为每次更新的花费还是很大
为什么花费会大
因为一个S的信息存储太大了，所以我们改小一点
但也不能太小，否则和直接算就一样了
所以我们用一个新的东西来存

下面来看一个图

注意到这里的C和我们之前的S很像
那我们就这样处理
用C来记一个和，但不是前缀和，而是类似与前缀和

仔细看这个图，如果我们要求前缀和，从C一直向右走，把走到的所有C加起来就是S

query解决了

再来看add

再看这个图，如果我们要更新一个点，从C一直向左走，把走到的所有C都加d就行了

那我们应该怎么走呢

先介绍一个东西lowbit
lowbi

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【转载】区间信息的维护与查询（一）——二叉索引树（Fenwick树、树状数组）...
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在例如扫描线等问题中，数据定义在无限二维平面上，某维度的值可能取值范围很大，但是数据相对来说较为稀疏。可以将所有值按照序进行排序压缩映射到一个更小的范围来节约树状数组的空间。以上分析指出，在数组既要查询又要修改时需要一种更优秀的数据结构。一个非负整数的二进制数制表示中从低位开始数第一个1以及所有低位的0共同构成一个数的低位比特。的区间和，如果可以有效缩短管辖区间则可以在数组修改时做更少的数据结构存储修改。然而我们的问题此时如果提出额外的需求，不光查询，还包含若干施加到数组。，问题给出的需求为查询下标为。
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