Fenwick Tree

最新推荐文章于 2025-05-12 10:49:06 发布
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分类专栏： 数据结构 文章标签： 数据结构
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Fenwick Tree，又称树状数组，是一种二叉索引树，用于快速区间信息的维护和查询。它提供O(nlog n)的预处理和O(log n)的更新与查询操作。通过低bit技巧，可以实现add(x,d)更新和query(l,r)查询功能，解决了传统前缀和在更新后的效率问题。初始化时，可以通过add(i,A[i])完成，具有较高的时间复杂度效率。" 122744412,12120508,西门子SinuTrain最新版仿真软件操作与调试,"['西门子', '数控系统', 'FPGA开发', '软件仿真', 'CSS']

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Fenwick树，俗称树状数组

也就是二叉索引树(Binary Indexed Tree,BIT)

它的作用是什么呢

支持快速区间信息的维护和查询

为什么说是快速，因为它真的很快
O(nlog n)预处理
O(log n)维护和更新

先来看一个问题

给定一个n个元素的数组A
我们进行下面两个操作
1 add(x,d): 让A[x]增加d
2 query(l,r): 计算A[l]+A[l+1]+…+A[r]

怎么办

计算前缀和S，这可以在O(1)的时间解决query。但一旦进行add之后前缀后要重新算过。
不难发现如果进行add(x,d),对前面的前缀和是没有影响的，所以只要更新x之后的就好了
但其实还是不行，以为每次更新的花费还是很大
为什么花费会大
因为一个S的信息存储太大了，所以我们改小一点
但也不能太小，否则和直接算就一样了
所以我们用一个新的东西来存

下面来看一个图

注意到这里的C和我们之前的S很像
那我们就这样处理
用C来记一个和，但不是前缀和，而是类似与前缀和

仔细看这个图，如果我们要求前缀和，从C一直向右走，把走到的所有C加起来就是S

query解决了

再来看add

再看这个图，如果我们要更新一个点，从C一直向左走，把走到的所有C都加d就行了

那我们应该怎么走呢

先介绍一个东西lowbit
lowbi

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看动画学算法之:树状数组-BIT-Fenwick Tree
程序那些事
09-14 8784
Fenwick Tree也叫做树状数组，或者Binary Indexed Tree(BIT),是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要给定区间，求最值，或者求和。 接下来我们来具体讲解一下Fenwick Tree的概念。
高级数据结构之Fenwick Tree（Binary Indexed Tree）
白马负金羁
06-07 733
Fenwick Tree也叫做树状数组，或者二叉索引树（BIT，Binary Indexed Tree），由新西兰奥克兰大学的Peter Fenwick博士于1994年提出。Fenwick Tree用数组来表示一棵树（这样空间上更节约），所以它的结点中没有指向左右孩子的指针这样的设计。它可以用于对区间和（range sum）进行快速查询，其元素修改和区间查询的复杂度都是O(log n)
树：Fenwick Tree | 二叉索引树
新华编程特战队
01-22 1890
概述二进制索引树是一种数据结构，用于有效地计算数字序列（数组）的前缀和。它也被称为芬威克树，因为“彼得芬威克”通过他的论文将其介绍给世界“于1994年首次发布。Fenwick Tree简介当回答关于数组的多个前缀和（从索引 0 到索引 x 的数组元素之和，即 a[0]+a[1]+...+a[x]）查询时，我们脑海中首先浮现的想法是使用一个前缀和数组。在这里，如果我们想计算a[0]+a[1]+...+a[4]，我们不需要计算它，而是我们可以简单地。
6.10 Fenwick树
你的指尖有改变世界的力量
02-14 1379
本文详细介绍了Fenwick树的原理。
树状数组（Fenwick Tree）原理和优化全面解析
最新发布
weixin_41520645的博客
05-12 26
当数据量较小时，我们可能会这样实现：vector<intprices(n)// 单点更新 - O(1)// 区间查询 - O(n)intaccumulatebeginbegin10，这样的操作会导致严重的性能瓶颈。尤其当系统要求每秒处理数万次操作时，传统的数组结构显然力不从心。聪明的开发者可能会想到前缀和优化：vector<intprefix(n +1// 构建前缀和 - O(n)forint1-1-1// 区间查询 - O(1)int1但新的问题随之而来——当某个。
树状数组（fenwick tree）
ding7530的博客
07-31 826
　　树状数组又称芬威克树，概念上是树状，实际上是使用数组实现的，表现为一种隐式数据结构，balabala...详情请见：https://en.wikipedia.org/wiki/Fenwick_tree 　　其中`i += (i & -i)`的相当于求 $ 2^{n-1} , n \in 1,2,3... $，还可以写成`i += (i & (i ^ (i - 1))...
经典算法：Fenwick Tree
codename_cys的博客
06-04 1883
经典算法：Fenwick Tree (Binary Indexed Tree)
二叉树基础（三）树状数组（Fenwick Tree）
z2656453168的博客
10-02 540
二叉树基础（三）树状数组（Fenwick tree）概念lowbitlowbitlowbit运算结构代码基本操作update()update()update()sum()sum()sum()整体代码 概念 树状数组（Binary Indexed Tree, Fenwick Tree）是一种用于高效处理对一个存储数字的列表进行更新及求前缀和的数据结构。 lowbitlowbitlowbit运算 lowbit(x)lowbit(x)lowbit(x)是x的二进制表达式中最低位的1所对应的值，比如： (6)10=
二叉树算法之 Fenwick 树（Binary Indexed Tree, BIT）详细解读
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10-21 1368
Fenwick 树，也称为 树状数组 或 二进制索引树（Binary Indexed Tree, BIT），是一种用于处理动态数组前缀和查询和修改的数据结构。它提供了一种高效的方法来在动态数据中求解区间和问题，并支持单点更新和区间查询操作。
用二叉树来理解树状数组
weixin_34255055的博客
04-11 350
树状数组（Fenwick tree，又名binary indexed tree），是一种很实用的数据结构。它通过用节点i，记录数组下标在[ i –2^k + 1, i]这段区间的所有数的信息（其中，k为i的二进制表示中末尾0的个数，设lowbit(i) = 2^k），实现在O(lg n) 时间内对数组数据的查找和更新。 树状数组的传统解释图，不能很直观的看出其所能进行的更新和查询操作。其最...
2维fenwick树
Eason的博客
08-19 2050
const int MAXH=107,MAXW=107; struct Fenwick { int W,H; int mat[MAXH][MAXW]; void init(int w,int h){ //初始化矩阵 memset(mat,0,sizeof(mat)); W=w,H=h; } int lowbit(int
LA 5902 - Movie collection 树状数组（Fenwick树）
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08-07 155
看题传送门 题目大意：XXX喜欢看电影，他有好多好多的影碟，每个影碟都有个独立的编号。开始是从下往上影碟的顺序是n~1，他每次拿出影碟的时候，你需要输出压在该影碟上的有几个。（拿出后其他影碟顺序不变）看完影碟后，XXX会把影碟放在最上面。 感冒了，不好玩T T 这题依旧是Fenwick树的应用。 但是有点奇怪是吗？我们要如何表示出来？ 我们可以取向上为正方向。（→_→喂，我...
【组队排位赛 #1】 Fenwick Tree 利用树状数组的运算法则
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04-11 302
Input file: fenwick.in Output file: fenwick.out Time limit: 3 seconds Memory limit: 256 megabytes Fenwick tree is a data structure effectively supporting prefix sum queries. For a number t denote as h...
【转载】区间信息的维护与查询（一）——二叉索引树（Fenwick树、树状数组）...
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08-29 112
在网上找到一篇非常不错的树状数组的博客，拿来转载，原文地址。 树状数组 最新看了一下区间的查询与修改的知识，最主要看到的是树状数组（BIT），以前感觉好高大上的东西，其实也不过就这么简单而已。 我们有一个动态连续和查询问题：给定一个n个元素的数组A1,A2,A3,…An，你的任务是设计一个数据结构，使得其支持以下两个操作： 1：Add(x,d)操作：让Ax增加d； ...
数学分析闭区间套定理_一道数学分析证明题的解答
weixin_42659791的博客
12-31 1653
前几天，数学协会出了一道题，在数学分析中算稍有难度的证明题(对不同的人而言)，考察实数完备性定理的应用，下面给出解答。题如下： is non-constant and increasing on .Prove that there exists such that: 考虑区间套定理。区间套定理：设闭区间的序列 满足以下两个条件：(1)形成区间套： ;(2)区...
[转自花花]fenwick tree
qq_19450921的博客
02-10 166
【算法笔记】树状数组/Binary Indexed Tree/Fenwick Tree
天生我材必有用，千金散尽还复来。
08-20 2175
树状数组，即树形存储的数组，又称或。抛开它树形的存储结构，这种神奇的数据结构的应用看起来与「 树」没什么关系：有一个序列A=(A1,A2,…,AN)A=(A1​,A2​,…,AN​)，在不超过O(log⁡N)O(logN)→\to~→求[L,R][L,R][L,R]区间内所有数之和。→\to~→指定一个元素AxA_xAx​，将其加上kkk。
UVa12086 - Potentiometers(树状数组即Fenwick树)
多看多听多总结
07-27 894
import java.io.FileInputStream; import java.io.InputStreamReader; import java.io.BufferedReader; import java.io.OutputStreamWriter; import java.io.PrintWriter; import java.io.StreamTokenizer; public
树状数组，Fenwick Tree
weixin_33830216的博客
07-18 157
Fenwick Tree, (also known as Binary Indexed Tree，二叉索引树), is a high-performance data structure to calculate the sum of elements from the beginning to the indexed in a array. It needs three function...
Fenwick tree
08-17
Fenwick Tree，又称为树状数组（Binary Indexed Tree），是一种基于数组实现的数据结构，用于高效地动态维护前缀和。它可以在O(logn)的时间内完成以下操作：更新某个元素的值，查询某个区间的和。Fenwick Tree的实现原理是将数组分解为一系列的区间和，每个区间和保存在树状数组的相应位置上。通过使用二进制的技巧，可以高效地计算每个区间和。： ``` public class FenWickTree { private int[] values; private int[] bit; public FenWickTree(int length) { values = new int[length]; bit = new int[length + 1]; } public void setValues(int index, int value) { values[index = value; index += 1; while (index < bit.length) { bit[index += value; index += index & -index; } } public int getSum(int index) { int sum = 0; while (index > 0) { sum += bit[index]; index -= index & -index; } return sum; } } ``` 以上代码展示了如何使用Fenwick Tree实现动态维护前缀和的功能。其中setValues()方法用于更新某个元素的值，getSum()方法用于查询某个区间的和。 另外，Fenwick Tree也可以用来解决区间修改的问题。对于元素的修改，我们可以视为区间查询的逆过程，通过从叶节点开始向上更新父节点，依次对每个父节点进行相同的修改操作。具体的实现可以参考下面的示例代码： ``` class FenwickTree { private int[] tree; public FenwickTree(int n) { tree = new int[n + 1]; } public int lowbit(int x) { return x & (-x); } public void add(int i, int val) { while (i < tree.length) { tree[i += val; i += lowbit(i); } } public int query(int i) { int res = 0; while (i > 0) { res += tree[i]; i -= lowbit(i); } return res; } } ``` 这段代码展示了如何使用Fenwick Tree解决区间修改的问题。add()方法用于修改某个元素，query()方法用于查询某个区间的和。 综上所述，Fenwick Tree是一种用于高效地动态维护前缀和的数据结构，可以在O(logn)的时间内完成更新和查询操作。同时，它也可以应用于区间修改的问题。 #### 引用[.reference_title] - *1* *3* [【数据结构与算法】树状数组](https://blog.youkuaiyun.com/zzy_NIC/article/details/130616434)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v92^chatsearchT3_1"}}] [.reference_item style="max-width: 50%"] - *2* [6.10 Fenwick树](https://blog.youkuaiyun.com/m0_66201040/article/details/122923027)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v92^chatsearchT3_1"}}] [.reference_item style="max-width: 50%"] [ .reference_list ]
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