数学分析闭区间套定理_一道数学分析证明题的解答

前几天，数学协会出了一道题，在数学分析中算稍有难度的证明题(对不同的人而言)，考察实数完备性定理的应用，下面给出解答。

题如下：

is non-constant and increasing on

.Prove that there exists

such that:

考虑区间套定理。

区间套定理：设闭区间的序列

满足以下两个条件：

(1)形成区间套：

;

(2)区间长度趋近于0：

;

则：这列闭区间包含唯一的公共点。即存在唯一实数

，使成立

这个唯一公共点

是区间两个端点所形成数列的公共极限。

即：

由于函数

递增，存在

,使得：

不妨令：

接下来采用二分法的思想：

取区间

为

其中之一，

且让

取得最大值。

从而：

重复以上操作，可得：

这样可以获得一列闭区间列：

,满足：

1)

;

2)

;

3)

;

此时，由区间套定理可知：不妨令

考虑：令

该不等式必存在正整数解，取

下面我们需要证明：

,对于这个不等式，采取反证法。

假设：

,那么：

所以

同样满足

,与

为最小正整数解矛盾。证毕！

所以

取

,即得到：

下面只需证明：

由于

,且满足：

同理：

。