数学分析闭区间套定理_一道数学分析证明题的解答

本文通过一道数学分析题目,详细解析了如何运用区间套定理证明实数完备性定理。首先介绍问题背景,然后逐步展开证明过程,包括利用函数递增性质、二分法思想构建闭区间序列,并最终应用区间套定理得出结论。整个证明过程严谨,逻辑清晰。

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前几天,数学协会出了一道题,在数学分析中算稍有难度的证明题(对不同的人而言),考察实数完备性定理的应用,下面给出解答。

题如下:

is non-constant and increasing on
.Prove that there exists

such that:

考虑区间套定理

区间套定理:设闭区间的序列

满足以下两个条件:

(1)形成区间套:

;

(2)区间长度趋近于0:

;

则:这列闭区间包含唯一的公共点。即存在唯一实数

,使成立

这个唯一公共点

是区间两个端点所形成数列的公共极限。

即:

由于函数

递增,存在
,使得:

不妨令:

接下来采用二分法的思想:

取区间

其中之一,

且让

取得最大值。

从而:

重复以上操作,可得:

这样可以获得一列闭区间列:

,满足:

1)

;

2)

;

3)

;

此时,由区间套定理可知:不妨令

考虑:令

该不等式必存在正整数解,取

下面我们需要证明:

,对于这个不等式,采取反证法。

假设:

,那么:

所以

同样满足
,与
为最小正整数解矛盾。证毕!

所以

,即得到:

下面只需证明:

由于

,且满足:

同理:

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