19、法医数据的R语言数据分析：方差不等假设下的线性模型及应用

法医数据的R语言数据分析：方差不等假设下的线性模型及应用

1. 方差假设与加权最小二乘法

在许多实际情况中，组间方差相等的假设并不现实。F检验在一定程度上对组间方差不等的情况具有鲁棒性，一般认为，当最大方差与最小方差的比值小于4（若使用标准差则为2），且组大小大致相等时，F检验能较好地发挥作用。但置信区间对组间方差不等的情况并不鲁棒。

为解决这一问题，可采用加权最小二乘法（WLS），它假设每个组中每个观测值或残差的方差形式为 (w_i\sigma^2)，其中 (w_i) 是特定于第 (i) 个观测值的权重。在单因素方差分析（ANOVA）中，第 (i) 组中每个观测值的权重可设为 (\frac{1}{s_i^2})，其中 (s_i^2) 是第 (i) 组的样本方差，这一方法有时也被称为Welch - James校正。

以下是一个示例说明加权最小二乘法的应用：
Mari等人对确定死前尿液中γ - 羟基丁酸（GHB）的浓度感兴趣。他们从三组人群中采集尿液样本：
- A组：30名正在接受已知口服剂量GHB（商品名为Alcover®）治疗酒精戒断和依赖的酗酒者；
- B组：30名未摄入外源性GHB的志愿者；
- C组：30名尚未开始GHB治疗的酗酒者。

测量每组人群的内源性GHB浓度（µg/mL）后发现，组间变异性差异明显，最大方差与最小方差的比值为14.2，远超过4。因此，考虑使用WLS。在这个例子中，使用WLS或普通最小二乘法（OLS）拟合模型时，估计的组均值没有差异，因为该实验是平衡的（每组观测值数量相等），但组均值的置信区间会有所不同，WLS的置信区间表现更符合预期，A组的区间更宽，B组和C组的区间更窄。