23、随机神经场理论：从离散网络到连续场的深入解析

随机神经场理论：从离散网络到连续场的深入解析

1. 随机率基模型概述

在神经科学领域，研究突触耦合的脉冲神经元网络时，我们常常将其划分为多个同质群体。假设存在一个由突触连接的脉冲神经元网络，可将其分割为 $P$ 个同质群体，每个群体包含 $N_{\alpha} = \delta_{\alpha}N$ 个神经元（$\alpha = 1, \cdots, P$）。这里，有一个群体函数 $p$，它能把单个神经元的索引 $i$（$i = 1, \cdots, N$）映射到该神经元所属的群体索引 $\alpha$，即 $p(i) = \alpha$。

当考虑突触相互作用时，我们假设群体间的突触相互作用对于所有神经元对都是相同的。若放松这一假设，可能会引入额外的随机性。对于第 $j$ 个神经元的放电时间序列，我们用 ${T_{j}^{m}; m \in Z}$ 表示。那么，由于来自突触前神经元 $j$ 的脉冲序列刺激，突触后神经元 $i$（$p(i) = \alpha$，$p(j) = \beta$）的净突触电流具有一般形式 $N_{\beta}^{-1} \sum_{m} \Phi_{\alpha\beta}(t - T_{j}^{m})$，其中 $N_{\beta}^{-1} \Phi_{\alpha\beta}(t)$ 代表了从群体 $\beta$ 中任意神经元到群体 $\alpha$ 中任意神经元的输入，经过突触和树突处理后的时间滤波效应。

假设所有突触输入线性相加，第 $i$ 个神经元胞体的总突触输入 $u_{i}(t)$ 可表示为：
[u_{i}(t) = \sum_{\beta} \frac{1}{N_{\beta}} \sum_{j|p(j)=\beta} \Phi