3、神经场理论教程

神经场理论教程

1. 振幅方程与模式选择

在神经场理论中，引入 $A = Re^{i\theta}$ 后，方程 (1.67) 可改写为：
[
\begin{cases}
\beta_c\frac{dR}{d\mu} = \delta R - \Phi R^3 \
\frac{d\theta}{d\mu} = 0
\end{cases}
]
这里，$\Phi$ 的表达式为：
[
\Phi = -3\beta_3 - 2\beta_2^2\left(\frac{\hat{w}(2p_c)}{1 - \beta_c\hat{w}(2p_c)} + \frac{2\hat{w}(0)}{1 - \beta_c\hat{w}(0)}\right)
]
由此可知，$A$ 的相位 $\theta$ 是任意的（$\theta = const$），并且振幅 $R$ 会发生叉形分岔。当 $\Phi > 0$ 时为超临界分岔，当 $\Phi < 0$ 时为亚临界分岔。

对于具有动态不稳定性的系统所产生的振幅方程，合适的振幅方程是描述图灵 - 霍普夫分岔的耦合平均场金兹堡 - 朗道方程，其调制群速度为 $O(1)$。

平面神经场的振幅方程

在二维空间中，同样的思想可用于确定模式的选择，例如条纹与斑点模式。在方程 (1.52) - (1.55) 的层次结构中，符号 $\Omega$ 表示二维空间中的卷积。二维傅里叶变换 $\hat{w}(p_1, p_2)$ 的显式形式为：
[
\hat{w}(p_1, p_2) = \int_{-\inft