69、带环图的边界控制：拆解图的方法

带环图的边界控制：拆解图的方法

1. 解决带环图逆问题的策略

为保证带环图逆问题有唯一解，需使用两类额外条件：
- 拓扑性质条件 ：其是否满足与边的长度和势能 $q$ 的值无关。
- 谱特征条件 ：一般满足，确保部分 $M$ - 函数的奇点不重合。

这些条件并非总是最优的，但通过具体例子能清晰看出其必要性。

2. 拆解图为独立子树的一般策略

假设已知有限紧致无悬垂的度量图 $\Gamma$ 上薛定谔算子的 $M$ - 函数，它与非空接触点集 $\partial\Gamma$ 相关。目标是恢复度量图、（电）势能 $q$ 和顶点条件。假定所有接触顶点满足标准顶点条件，只需恢复内部顶点（非 $\partial\Gamma$ 中的顶点）的条件。

解决逆问题可将其简化为一系列覆盖原度量图的子树的逆问题，子树的逆问题已解决。简化过程可分为两步：
- 几何简化 ：将原度量图拆解为子树集合。
- 分析简化 ：从原图形的 $M$ - 函数恢复子树的 $M$ - 函数。

分析简化基于显式公式 (17.26) 和 (17.37)，应用这些公式需用到两个基本结果：
- 若度量图为树，$M$ - 函数的每个奇点至少有两个对角元素是奇异的。
- 奇点和相应的留数唯一确定 $M$ - 函数。

第一个结果源于度量树上的每个狄利克雷特征函数在至少两个悬垂顶点附近不为零。

3. $M$ - 函数及其奇点

下面两个引理证明了关于 $M$ - 函数及其奇点的重要事实。
- 引理 21.1 ：设 $T$ 是一个度量树，其薛定谔算子 $L_q(T)$ 由边界顶点 $\partial T$ 处的标准条件和内部顶点处的任意厄米条件确定，$M(\lambda)$ 是与 $T$ 中所有悬垂顶点相关的 $M$ - 函数。则有：
- 树上的每个狄利克雷特征函数都是可见的，即相应的特征值 $\lambda_D^n$ 是 $M$ - 函数的奇点。
- 树上的每个狄利克雷特征函数 $\psi_D^n$ 在至少两个悬垂顶点处的导数不为零。
- 对于每个狄利克雷特征值 $\lambda_D^n$，$M(\lambda)$ 的至少两个对角元素是奇异的。
- 引理 21.2 ：在引理 21.1 的假设下，$M$ - 函数有如下渐近表示：
$M(-s^2) = -sI + o(1), s \to \infty$
该引理的证明基于响应算子的核与 $M$ - 函数的关系，通过对响应算子短时间行为的分析得到。
- 引理 21.3 ：设 $\Gamma$ 是一个有限度量图，其相关的薛定谔算子为 $L_{q,a}(\Gamma)$，$M(\lambda)$ 是与接触顶点集 $\partial\Gamma$ 相关的 $M$ - 函数。若 $L_{q,a}(\Gamma)$ 由 $\partial\Gamma$ 上的标准顶点条件和所有其他（内部）顶点处的任意厄米条件定义，则 $M$ - 函数有如下渐近表示：
$M(-s^2) = -s \text{diag}{d_j} + o(1), s \to \infty$
其中 $d_j$ 是接触顶点 $V^j \in \partial\Gamma$ 的度。

4. 拆解图为独立子树解决逆问题

• 定义 21.4 ：若一组顶点能将度量图 $\Gamma$ 通过完全分离对应于这些顶点的等价类，使图 $\Gamma$ 变成一组完全覆盖 $\Gamma$ 的子树 $T_j$，则称这组顶点能拆解度量图 $\Gamma$。
• 定义 21.5 ：度量图 $\Gamma$ 的一组子树 ${T_j}$ 若任意一对子树最多有一个公共顶点，则称为独立子树；否则称为相关子树。这里主要研究独立子树的情况。

定理 21.6 ：设 $L_{q,0}^{st}(\Gamma)$ 是无悬垂度量图 $\Gamma$ 上的标准薛定谔算子，选择非空接触集 $\partial\Gamma$ 将图拆解为一组树 ${T_j}$，满足：
- 没有子树 $T_j$ 有两个来自图 $\Gamma$ 中同一顶点的悬垂顶点。
- 子树 $T_j$ 是独立的，即任意两个子树最多有一个公共顶点。

若满足以下条件：
- 具有悬垂顶点处狄利克雷条件和所有内部顶点处标准顶点条件的薛定谔算子 $L_{q,0}^{st,D}(T_j)$，$j = 1, 2, \cdots$ 的谱是不相交的，即 $\lambda_D^n(T_j) \neq \lambda_D^m(T_i), j \neq i$。

则与接触集 $\partial\Gamma$ 相关的 $M$ - 函数通常能确定度量图 $\Gamma$ 和势能 $q$。

证明过程如下：
- $\Gamma$ 的 $M$ - 函数由子树 $T_j$ 的 $M$ - 函数完全确定，即 $M(\lambda) = \sum_j M_j(\lambda)$。
- 子树的 $M$ - 函数 $M_j(\lambda)$ 可能在 $\lambda_D^n(T_j)$ 处有奇点，且每个奇点在树的情况下都存在，每个 $\lambda_D^n$ 至少有两个 $M_j(\lambda)$ 的对角元素是奇异的。
- 通过分析 $M(\lambda)$ 的奇点，可识别非不相交子集 $\partial T_j \subset \partial\Gamma$，并将狄利克雷特征值 $\lambda_D^n(\Gamma)$ 分类到对应子树的不相交子集中。
- 利用得到的信息和公式 (17.37) 可重建 $M_j(\lambda)$ 直至常数矩阵 $A_j = M_j(\lambda’)$，常数矩阵可通过 $M$ - 函数的渐近表示确定。
- 子树的 $M$ - 函数确定子树和那里的势能，结合 $\partial T_j$ 可重建原图形 $\Gamma$。

5. 更强的定理及条件弱化讨论

• 定理 21.7 ：设 $L_{q,0}^{S}(\Gamma)$ 是无悬垂度量图 $\Gamma$ 上的薛定谔算子，选择非空接触集 $\partial\Gamma$ 将图拆解为一组树 ${T_j}$，满足定理 21.6 的两个条件。若内部顶点的顶点条件为广义 $\delta$ 耦合，接触顶点为标准条件，且具有内部顶点继承自 $\Gamma$ 的顶点条件和悬垂顶点处狄利克雷条件的薛定谔算子 $L_{q,0}^{S,D}(T_j)$ 的谱是不相交的，则与接触顶点相关的 $M$ - 函数通常能确定度量图、势能 $q$ 和内部顶点的顶点条件。

定理条件可在不影响证明的情况下进行如下弱化：
- 接触顶点的标准条件可替换为任何其他厄米条件，若假设任何单一反射系数足以进行重建，例如可假设为 $\delta$ 耦合。
- 内部顶点的广义 $\delta$ 耦合可替换为任意渐近适当连接条件，但证明需修改。
- 允许部分 $T_j$ 有两个来自原图形中同一顶点的悬垂顶点，相当于允许子树有环。
- 允许部分对子树有多个公共顶点，此情况后续将用磁边界控制方法研究。
- 可弱化 $L_{q,0}^{S,D}(T_j)$ 谱不相交的要求，允许原图形中距离较远的树有公共特征值。

6. 推论

定理 21.8 ：设 $L_{q,0}^{st}(\Gamma)$ 是无环或平行边的度量图 $\Gamma$ 上的标准薛定谔算子。若边的狄利克雷薛定谔算子 $L_{q,0}^{D}(E_n)$ 的谱是不相交的，则与 $\Gamma$ 中所有顶点相关的 $M$ - 函数能确定度量图 $\Gamma$ 和势能 $q$。

证明只需验证定理 21.6 的所有条件都满足，图的边构成最简单的树，无环满足条件 (1)，无平行边使子树独立满足条件 (2)。

以下是解决逆问题的流程 mermaid 图：

graph TD;
    A[已知度量图的M - 函数] --> B[几何简化：拆解为子树];
    B --> C[分析简化：恢复子树M - 函数];
    C --> D[识别子树接触集和分类特征值];
    D --> E[重建子树M - 函数];
    E --> F[确定常数矩阵];
    F --> G[重建原图形和势能];

表格总结

定理	条件	结论
定理 21.6	- 子树无两个来自同一顶点的悬垂顶点 - 子树独立 - 子树狄利克雷算子谱不相交	$M$ - 函数确定度量图和势能
定理 21.7	- 子树无两个来自同一顶点的悬垂顶点 - 子树独立 - 子树狄利克雷算子谱不相交 - 内部顶点广义 $\delta$ 耦合，接触顶点标准条件	$M$ - 函数确定度量图、势能和内部顶点条件
定理 21.8	- 图无环和平行边 - 边的狄利克雷算子谱不相交	$M$ - 函数确定度量图和势能

带环图的边界控制：拆解图的方法

7. 问题探讨与拓展

在实际应用中，对于上述定理和方法还存在一些值得探讨和拓展的问题。

7.1 顶点条件的灵活性

虽然定理中给出了标准顶点条件和广义 $\delta$ 耦合等情况，但在更复杂的场景下，顶点条件可能更加多样化。例如，当接触顶点的条件从标准条件替换为其他厄米条件时，需要额外假设单一反射系数足以进行重建。这就要求在实际操作中，对反射系数的测量和分析更加精确。以下是不同顶点条件的对比表格：
| 顶点位置 | 原条件 | 可替换条件 | 影响及要求 |
| — | — | — | — |
| 接触顶点 | 标准条件 | 其他厄米条件（如 $\delta$ 耦合） | 需要假设单一反射系数足以重建 |
| 内部顶点 | 广义 $\delta$ 耦合 | 任意渐近适当连接条件 | 证明需修改，需考虑特征函数导数情况 |

7.2 子树结构的放宽

允许部分子树有两个来自原图形中同一顶点的悬垂顶点，或者部分对子树有多个公共顶点，这为解决更复杂的图结构问题提供了可能。但这也增加了问题的复杂度，需要使用更高级的方法，如磁边界控制方法来处理。下面是子树结构放宽后的情况分析列表：
- 允许子树有两个来自同一顶点的悬垂顶点：相当于允许子树有环，需要在后续章节进一步研究处理方法。
- 允许部分对子树有多个公共顶点：将使用磁边界控制方法进行研究，以解决相关逆问题。

7.3 谱条件的弱化

放宽 $L_{q,0}^{S,D}(T_j)$ 谱不相交的要求，允许原图形中距离较远的树有公共特征值，类似于通过迹公式从谱重建图形的方法。这在一定程度上降低了对谱的严格要求，但也需要更精细的分析来确保逆问题的可解性。

8. 实际应用中的操作步骤

在实际应用中，利用上述理论解决带环图的逆问题可以按照以下步骤进行：
1. 获取 $M$ - 函数 ：通过实验或计算得到度量图的 $M$ - 函数。
2. 几何简化 ：选择合适的接触集，将度量图拆解为子树集合。
3. 分析简化 ：根据显式公式 (17.26) 和 (17.37)，从原图形的 $M$ - 函数恢复子树的 $M$ - 函数。
4. 识别子树和特征值分类 ：分析 $M$ - 函数的奇点，识别非不相交子集 $\partial T_j \subset \partial\Gamma$，并将狄利克雷特征值 $\lambda_D^n(\Gamma)$ 分类到对应子树的不相交子集中。
5. 重建子树 $M$ - 函数 ：利用得到的信息和公式 (17.37) 重建 $M_j(\lambda)$ 直至常数矩阵 $A_j = M_j(\lambda’)$。
6. 确定常数矩阵 ：通过 $M$ - 函数的渐近表示确定常数矩阵 $A_j$。
7. 重建原图形和势能 ：子树的 $M$ - 函数确定子树和那里的势能，结合 $\partial T_j$ 重建原图形 $\Gamma$ 和势能 $q$。

以下是实际应用步骤的 mermaid 流程图：

graph LR;
    A[获取M - 函数] --> B[几何简化];
    B --> C[分析简化];
    C --> D[识别子树和分类特征值];
    D --> E[重建子树M - 函数];
    E --> F[确定常数矩阵];
    F --> G[重建原图形和势能];

9. 总结

通过对带环图的逆问题进行研究，我们提出了将图拆解为独立子树的方法来解决问题。利用 $M$ - 函数及其奇点的性质，结合拓扑和谱特征条件，可以确定度量图、势能和顶点条件。虽然定理的条件可以在一定程度上进行弱化，但在实际应用中需要根据具体情况进行调整和精细分析。未来，随着对更复杂图结构和顶点条件的研究深入，有望进一步拓展该方法的应用范围。

总之，带环图的边界控制和逆问题求解是一个具有挑战性但又充满潜力的研究领域，通过不断的理论探索和实践应用，我们可以更好地理解和处理复杂的图结构问题。