8、顶点条件的二次型参数化及相关特性解析

顶点条件的二次型参数化及相关特性解析

在数学物理领域，常常通过二次型（更准确地说是半双线性型）来确定自伴算子，主要原因有两点：
- 半有界自伴算子与其二次型之间存在一一对应关系。
- 二次型可直接用于极小 - 极大和极大 - 极小原理，以确定离散谱和相应的特征函数。

算子的半双线性型计算

对于算子 $L_{q,a}^S$，其半双线性型 $Q_{q,a}^S(u, u)$ 可明确计算得出：
[
\begin{align }
Q_{q,a}^S(u, u) &\equiv \langle L_{q,a}^S u, u\rangle_{L^2(\Gamma)}\
&= \sum_{n = 1}^{N} \left(\int_{E_n} - \left(\frac{d}{dx} - i a(x)\right)^2 u(x) \overline{u(x)} dx + \int_{E_n} q(x) |u(x)|^2 dx\right)\
&= \sum_{x_j} \overline{\partial u(x_j)} u(x_j) + \sum_{n = 1}^{N} \left(\int_{E_n} \left|\left(\frac{d}{dx} - i a(x)\right) u(x)\right|^2 dx + \int_{E_n} q(x) |u(x)|^2 dx\right)\
&= \sum_{m = 1}^{M} \langle \vec{\partial} u(V^m), \vec{u}(V^m) \rangle_{\mathbb{C}^{d^m}} + \sum_{n