极限的运算法则

无穷小的运算法则

        定理1：有限个无穷小的和（差）仍然是无穷小。

        易错提示：在计算无穷小的和（差）运算的时候，要注意到无穷小的个数，如果是有限个无穷小的话，那么它们的和（差）仍然是无穷小。当它们是无限个无穷小相加（减）的话，那么就要另外选择做法了。

 

        定理2：有界函数和无穷小的积仍然是无穷小。                                                                

        易错提示：想要拆成两个极限的乘积的形式，那么要保证这两个极限都存在。但是x趋向0的时候，sin(1/x)的极限是不存在的。所以不可以拆开来。故，这道题目还是使用定理2来做，这样子可以得到正确的答案。

                推论1：常数与无穷小的乘积为无穷小。

                推论2：有限个无穷小的乘积也是无穷小。 

极限的有理运算法则 

                

两个函数的极限存在与否的四则运算情况

 

 数列的运算也完全符合极限的运算        

                两个数列的极限存在与否的四则运算情况，与两个函数的极限存在与否的四则运算情况相同。

 

例题：

         

                解析：这个可以拆开成两个极限的和是因为，在拆开的时候分析到两个函数的极限都存在，所以可以拆成两个极限的和。

                

                解析：分析到分子的极限存在，且分子的极限为2；分母的极限也存在，且分母的极限为3（非零）。那么这种情况下，就可以使用极限运算商的法则。就有答案：2/3 。

                解析：分析到分子的极限存在，且分子的极限为0；分母的极限存在，且分母的极限为0。因为分母的极限为零，所以不可以采用极限运算商的法则。 就要采用其他途径介入。

 

                解析：分析到分子，分母的极限都是无穷大，此时不可以使用极限运算商的法则。 就要采用其他途径介入。