无穷小的运算法则
定理1:有限个无穷小的和(差)仍然是无穷小。
易错提示:在计算无穷小的和(差)运算的时候,要注意到无穷小的个数,如果是有限个无穷小的话,那么它们的和(差)仍然是无穷小。当它们是无限个无穷小相加(减)的话,那么就要另外选择做法了。
定理2:有界函数和无穷小的积仍然是无穷小。
易错提示:想要拆成两个极限的乘积的形式,那么要保证这两个极限都存在。但是x趋向0的时候,sin(1/x)的极限是不存在的。所以不可以拆开来。故,这道题目还是使用定理2来做,这样子可以得到正确的答案。
推论1:常数与无穷小的乘积为无穷小。
推论2:有限个无穷小的乘积也是无穷小。
极限的有理运算法则

数列的运算也完全符合极限的运算
两个数列的极限存在与否的四则运算情况,与两个函数的极限存在与否的四则运算情况相同。
例题:
解析:这个可以拆开成两个极限的和是因为,在拆开的时候分析到两个函数的极限都存在,所以可以拆成两个极限的和。
解析:分析到分子的极限存在,且分子的极限为2;分母的极限也存在,且分母的极限为3(非零)。那么这种情况下,就可以使用极限运算商的法则。就有答案:2/3 。
解析:分析到分子的极限存在,且分子的极限为0;分母的极限存在,且分母的极限为0。因为分母的极限为零,所以不可以采用极限运算商的法则。 就要采用其他途径介入。
解析:分析到分子,分母的极限都是无穷大,此时不可以使用极限运算商的法则。 就要采用其他途径介入。