无旋treap(可持久化,区间操作),解决普通平衡树、文艺平衡树

无旋treap(fhq_treap)由范浩强提出,是一种无需旋转操作的平衡树,特别适用于处理区间操作问题且支持持久化。通过对比普通treap和文艺平衡树(翻转操作),展示了无旋treap在解决平衡树问题时的简洁性和高效性。其优点包括简洁的代码和持久化特性,但速度较慢,维护LCT时可能需要额外的时间复杂度。

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无旋treap

无旋treap,又名fhq_treap是范浩强巨佬发明的不用旋转维护treap性质的神奇数据结构,比起普通treap,可以解决许多区间操作问题,还可持久化,代码也简单

例一:普通平衡树tyvj1728(treap模板)

如果想看旋转treap怎么写戳这儿
无旋treap代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e5+5;
struct node{
	int val,ch[2],size,rd;
	#define l(x) t[x].ch[0]
	#define r(x) t[x].ch[1]
}t[N]; 
struct treap{
	int root,x,y,z,cnt;
	inline void up(int x){
		t[x].size=1+t[l(x)].size+t[r(x)].size;
	} 
	inline int new_node(int x){
		t[++cnt].size=1;
		t[cnt].val=x;
		t[cnt].rd=rand();
		return cnt;
	}
	void split(int now,int k,int &x,int &y){
		if(!now)x=y=0;
		else{
			if(t[now].val<=k)x=now,split(r(now),k,r(now),y);
			else y=now,split(l(now),k,x,l(now));
			up(now);
		}
	}
	int merge(int A,int B){
		if(!A||!B)return A+B;
		if(t[A].rd<t[B].rd){
			t[A].ch[1]=merge(r(A),B);up(A);
			return A;
		}
		else{
			t[B]
<think>好的,用户想了解可持久化Treap数据结构及实现方法,特别是代码部分。首先,我需要回顾一下可持久化数据结构的基本概念。可持久化数据结构能够保存历史版本,每次修改后生成新版本,而旧版本保持不变。常见的应用包括数据库版本管理、撤销操作等。 Treap本身是二叉搜索树和堆的结合,通过随机优先级维持平衡。非Treap,比如FHQ Treap,使用Split和Merge操作来避免转,这样更适合可持久化,因为操作会改变结构,难以维护历史版本。 接下来,我需要参考用户提供的引用内容。引用3提到了非Treap可持久化的实现,特别是在Merge操作时有时不需要复制节点,这能提高效率。引用4和5讨论了Split和Merge的具体实现,以及如何查找第k大元素。引用1和2说明了可持久化的应用场景和限制,比如势能分析的数据结构不适合完全可持久化,但Treap通过非操作可以实现。 现在需要将FHQ Treap可持久化方法分解为关键操作:Split和Merge的可持久化版本。每次修改时复制路径上的节点,保持旧版本的结构不变。例如,在Split时,如果当前节点需要被分割,就创建新节点复制原节点的内容,然后递归处理左右子树。Merge操作类似,根据优先级决定合并方式,必要时复制节点。 代码实现部分,节点结构需要左右子节点、大小和优先级。Split函数返回分割后的两个根节点,Merge函数合并两个Treap。插入和删除操作通过Split和Merge的组合实现,每次操作生成新版本。需要注意在修改路径上的节点时创建新副本,避免影响旧版本。 可能的问题点:确保每次操作只复制必要的节点,以节省空间。例如,在Merge时,如果子树来自同一版本,可能不需要复制。此外,路径复制可能导致额外的内存消耗,需要合理管理节点的创建和更新。 最后,需要验证示例代码的正确性,比如插入操作是否正确分割和合并,并生成新版本。测试用例可以帮助确认可持久化功能是否正常,例如插入元素后检查旧版本是否存在,新版本是否正确。</think>### 可持久化TreapFHQ Treap数据结构及实现方法 #### 一、核心设计原理 可持久化Treap通过**路径复制**实现版本管理,每次插入/删除操作时,仅复制涉及修改的节点路径,未修改的子树直接复用。基于非转的FHQ Treap实现,核心操作包括: 1. **带复制的分裂(Split)** 递归复制路径节点,返回两个新子树 $$ \text{Split}(root, key) \rightarrow (left\_tree, right\_tree) $$ 2. **带复制的合并(Merge)** 根据优先级合并子树,复用未修改部分 $$ \text{Merge}(x, y) \rightarrow new\_root $$ #### 二、代码实现(C++示例) ```cpp struct Node { int val, prio, size; Node *ch[2]; // ch[0]左子树, ch[1]右子树 Node(int v) : val(v), prio(rand()), size(1) { ch[0] = ch[1] = nullptr; } Node(const Node& o) { // 复制构造函数 val = o.val; prio = o.prio; size = o.size; ch[0] = o.ch[0]; ch[1] = o.ch[1]; } }; // 分裂操作(返回新版本的两棵子树) pair<Node*, Node*> Split(Node* p, int key) { if (!p) return {nullptr, nullptr}; Node* new_p = new Node(*p); // 关键复制操作[^3] if (key < new_p->val) { auto [left, right] = Split(new_p->ch[0], key); new_p->ch[0] = right; update_size(new_p); // 更新子树大小 return {left, new_p}; } else { auto [left, right] = Split(new_p->ch[1], key); new_p->ch[1] = left; update_size(new_p); return {new_p, right}; } } // 合并操作(生成新版本根节点) Node* Merge(Node* x, Node* y) { if (!x) return y; if (!y) return x; if (x->prio < y->prio) { Node* new_x = new Node(*x); // 复制节点[^5] new_x->ch[1] = Merge(new_x->ch[1], y); update_size(new_x); return new_x; } else { Node* new_y = new Node(*y); new_y->ch[0] = Merge(x, new_y->ch[0]); update_size(new_y); return new_y; } } // 插入操作(返回新版本根节点) Node* Insert(Node* root, int val) { auto [L, R] = Split(root, val); Node* new_node = new Node(val); return Merge(Merge(L, new_node), R); } ``` #### 三、关键优化点 1. **延迟复制机制**:仅在Split/Merge路径上复制节点,未修改子树直接复用[^3] 2. **版本共享策略**:新旧版本共享未修改的子树结构,空间复杂度为$O(m \log n)$(m为操作次数) 3. **平衡性保障**:通过随机优先级维持树高期望$O(\log n)$[^5] #### 四、应用场景 - 数据库事务版本管理(支持回滚操作) - 文本编辑器中的无限撤销/重做功能 - 函数式编程中的持久化集合[^1]
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