codeforces 715B. Complete The Graph

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/715/B
题目大意：给出一张n个点（编号0~n-1）m条边的图，边权均为正整数，其中有些边没有赋权（权值用0表示），问是否存在一种赋值方案使得从s到t的最短路恰好等于L。如果不存在输出NO，否则输出一行YES，接下来m行表示一种赋值方案。
数据范围：2 ≤ n ≤ 1000,  1 ≤ m ≤ 10 000,  1 ≤ L ≤ 10^9,  0 ≤ s, t ≤ n - 1,  s ≠ t

题解：
1.二分+最短路
首先判断无解的情况。先把所有未赋值的边赋值为∞，若此时dist(s,t)小于L，那么无解。否则再全部赋为1，若此时dist(s,t)大于L，也无解。
如果存在方案，那么假设我们把在 i 之前的边赋值为1，之后的边赋值为∞，则dist(s,t)随着 i 的增大而减小，所以我们可以二分出一个最小的 i ，使得dist(s,t)<=L，而当 i 减1时，dist(s,t)>L。此时我们再做一次二分，求出第 i 条边取值为多少时dist(s,t)=L。问题解决。
时间复杂度O（最短路*(logm+logL)）

（ps：明明旁边tag已经写了二分答案了然而我愣是没想到怎么二分，果然像我这种智商不够的选手还需要勤加练习啊hhhh）

2.两遍dijkstra
刷评论的时候看到的，相比起前一种更容易想到并且……时间更快。首先把所有未赋值的边权赋为1，做一遍dijkstra求出每个点到s的最短距离，如果dist[t]>L那么无解，否则记下dist[t]与L的差值need，然后做第二遍dijkstra（距离用dist2表示），对于未赋值的边(u,v)，如果能够用dist2[u]+这条边的权值来更新dist2[v]，那么把这条边的权值赋为原本的dist[v]+need-dist2[u]，使得更新后的dist2[v]=dist[v]+need。最后判断dist[t]的值是否等于L就可以了。
时间复杂度O（n*(logn+logm)）

（ps：完美符合最初的脑洞可惜我没细想hhhh）

代码如下：

1.二分+最短路

#include <cstdio>
const int inf=1000000010;
int to[20010],ne[20010],val[20010],v[10010],u[1010],
    dist[1010],q[1010],fi[1010],n,m,L,s,t,tot=0;
struct P{
    int x,y,z;
}a[10010];
void add(int x,int y,int z){
    to[++tot]=y;val[tot]=z;ne[tot]=fi[x];fi[x]=tot;
}
void spfa(){
    int head=0,tail=1;
    for (int i=0;i<n;i++) u[i]=1,dist[i]=inf;
    for (u[q[1]=s]=dist[s]=0;head!=tail;u[q[head]]=1){
        if (++head==n+1) head=1;
        for (int i=fi[q[head]];i;i=ne[i])
        if (dist[q[head]]+val[i]<dist[to[i]]){
            dist[to[i]]=dist[q[head]]+val[i];
            if (u[to[i]]){
                if (++tail==n+1) tail=1;
                u[q[tail]=to[i]]=0;
            }
        }
    }
}
void PRINT(int x,int y){
    printf("YES\n");
    for (int i=1;i<=m;i++){
        if (v[i]){
            if (i<x) a[i].z=1;
                else if (i==x) a[i].z=y;
                    else a[i].z=inf;
        }
        printf("%d %d %d\n",a[i].x,a[i].y,a[i].z);
    }
}
void findval(int mth){
    int l=1,r=L,mid;
    for (;l<=r;){
        mid=(l+r)>>1;
        val[mth*2-1]=val[mth*2]=mid;
        spfa();
        if (dist[t]==L){
            PRINT(mth,mid);return;
        }
        if (dist[t]<L) l=mid+1;
            else r=mid-1;
    }
}
void findmth(){
    int i,l=1,r=m,mid,ans;
    for (;l<=r;){
        mid=(l+r)>>1;
        for (i=1;i<=m;i++)
            if (v[i]) val[i*2]=val[i*2-1]=i<=mid?1:inf;
        spfa();
        if (dist[t]==L){
            PRINT(mid,1);return;
        }
        if (dist[t]<L) ans=mid,r=mid-1;
            else l=mid+1;
    }
    findval(ans);
}
int main(){
    scanf("%d%d%d%d%d\n",&n,&m,&L,&s,&t);
    for (int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d\n",&a[i].x,&a[i].y,&a[i].z);
        if (!a[i].z) a[i].z=inf,v[i]=1;
        add(a[i].x,a[i].y,a[i].z);
        add(a[i].y,a[i].x,a[i].z);
    }
    spfa();
    if (dist[t]<L) printf("NO\n");
    else if (dist[t]==L) PRINT(0,0);
    else{
        for (int i=1;i<=m;i++)
            if (v[i]) val[i*2]=val[i*2-1]=1;
        spfa();
        if (dist[t]>L) printf("NO\n");
        else if (dist[t]==L) PRINT(m,1);
        else findmth();
    }
}

2.两遍dijkstra

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
const int inf=1000000010;
int a[10005],b[10005],val[10005],to[20005],ne[20005],e[20005],fi[1005],
    dist[1005],dist2[1005],u[1005],v[10005],n,m,L,s,t,tot=0,need;
typedef pair<int,int> P;
priority_queue<P,vector<P>,greater<P> > q;
void add(int x,int y,int z)
{
    to[++tot]=y;e[tot]=z;ne[tot]=fi[x];fi[x]=tot;
}
void dijkstra()
{
    for (int i=0;i<n;i++) dist[i]=inf,u[i]=1;
    dist[s]=0;q.push(P(0,s));
    for (;!q.empty();)
    {
        int x=q.top().second;
        q.pop();
        if (!u[x]) continue;
        u[x]=0;
        for (int i=fi[x];i;i=ne[i])
            if (dist[x]+val[e[i]]<dist[to[i]])
            {
                dist[to[i]]=dist[x]+val[e[i]];
                q.push(P(dist[to[i]],to[i]));
            }
    }
}
void dijkstra2()
{
    for (int i=0;i<n;i++) dist2[i]=inf,u[i]=1;
    dist2[s]=0;q.push(P(0,s));
    for (;!q.empty();)
    {
        int x=q.top().second;
        q.pop();
        if (!u[x]) continue;
        u[x]=0;
        for (int i=fi[x];i;i=ne[i])
        {
            if (v[e[i]] && dist2[x]+val[e[i]]<dist[to[i]]+need)
                val[e[i]]=dist[to[i]]+need-dist2[x];
            if (dist2[x]+val[e[i]]<dist2[to[i]])
            {
                dist2[to[i]]=dist2[x]+val[e[i]];
                q.push(P(dist2[to[i]],to[i]));
            }
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d%d\n",&n,&m,&L,&s,&t);
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d\n",&a[i],&b[i],&val[i]);
        if (!val[i]) v[i]=val[i]=1;
        add(a[i],b[i],i);add(b[i],a[i],i);
    }
    dijkstra();
    if (dist[t]>L)
    {
        printf("NO\n");
        return 0;
    }
    need=L-dist[t];
    dijkstra2();
    if (dist2[t]!=L) printf("NO\n");
    else
    {
        printf("YES\n");
        for (int i=1;i<=m;i++) printf("%d %d %d\n",a[i],b[i],val[i]);
    }
}