规定稳定性度的降阶控制器设计

具有规定稳定性度的广域附加降阶动态输出反馈控制器设计用于抑制不确定电力系统中的区域间低频振荡

孙淼萍∗，刘晶晶，年晓红，邓振华

摘要

本文针对不确定电力系统，提出了一种具有规定稳定性度的广域补充降阶动态输出反馈控制器（DOFC），用于抑制区域间低频振荡。其中，应用规定稳定性度 α 的概念，使所有极点均位于复平面中 s = −α 左侧。采用综合残差指标比来选取广域输入信号。基于李雅普诺夫稳定性理论和复平面变换操作，推导了具有规定稳定性度的不确定闭环电力系统渐近稳定的充分条件。此外，提出了一种新的基于线性矩阵不等式（LMI）的方法，用于求取降阶动态输出反馈控制器的参数，并计算规定稳定性度下的传输延迟上限。在两区四机系统上进行了案例研究，分别由传统广域电力系统稳定器（PSSs）和本文所提控制器进行控制。不同外部扰动下的仿真结果验证了所提方法的优势。

索引词 —降阶动态输出反馈控制器；规定稳定性度；区域间低频振荡；线性矩阵不等式（LMI）

I. 引言

频率范围在0.1至2Hz之间的低频振荡由于系统阻尼不足，在大规模互联电力系统中是固有的现象。其严重程度可能随联络线功率传输水平、负荷特性等因素而变化。随着电网互联的发展和运行条件的日益复杂，区域间低频振荡问题变得越来越严重[1],[2]。传统上，可通过安装使用转子速度和有功功率等本地测量信号作为阻尼控制回路反馈信号的电力系统稳定器（PSS）来抑制低频振荡。然而，此类PSS只能抑制局部可观测和可控的振荡，其可观测空间可能受限。大量文献表明，若将远程信号引入阻尼控制器，与使用本地测量信号相比，系统的动态性能可得到提升。借助同步相量测量单元（PMUs）的广泛部署，广域测量系统（WAMS）能够监测动态电力系统的数据，如电压、电流、相角和频率。因此，由于广域测量系统信息[3],[4]扩大了可观测空间，这为控制电力系统动态提供了前所未有的机遇。

尽管广域测量系统（WAMS）为利用远程信号设计更高效的控制结构提供了可能，但这些新控制方案也带来了若干挑战，例如传输通道中的延迟问题[5],[6]。据报道，根据所使用的传输通道不同，时间延迟范围在0.02至0.5秒之间。此类程度的时间延迟会降低系统的阻尼性能，影响振荡频率，甚至导致闭环电力系统失稳，因此在控制设计中必须充分考虑时间延迟的影响[7]。多年来，电力系统研究人员已采用时滞系统理论来应对时间延迟问题，该方法可在一定延迟范围内保持系统稳定[6],[8],[9],[10]。尽管李雅普诺夫‐克拉索夫斯基泛函方法能够确保电力系统的稳定性，但可能导致弱阻尼区域间振荡模式的出现，由于其振荡幅度较大且波动时间较长，在电力系统的阻尼控制中是不可接受的。

规定稳定性度的概念在理论上被提出，用于处理弱振荡模式[11]。该概念被应用于解决电力系统中的低频振荡[12],[13]，其中[12]设计了一种非线性分散反馈控制器，而[13]则在给定阻尼因子和所需信号传输延迟的条件下提出了广域PSS设计。上述所有文献均致力于通过超前‐滞后补偿方法获取广域PSS的参数，但这种方法已不再有效，因为局部振荡模式与区域间模式之间的强耦合使得对所有模式进行PSS参数整定几乎不可能。

此外，状态反馈的功能不可替代，而状态反馈的物理实现又难以达到，这构成了一种矛盾。动态输出反馈控制器不仅完美解决了状态反馈的这一矛盾，还提升了输出反馈的性能。尽管动态输出反馈控制器被设计用于抑制区域间振荡[14],[15]，但尚未考虑变化的运行条件以及DOFC阶数，而这将导致系统矩阵发生变化并影响控制器的实现。

受上述研究的启发，时滞相关本文提出的具有规定稳定性度的广域降阶动态输出反馈控制器旨在改善区域间振荡，其中规定稳定性度 α 的思想保证了闭环电力系统的所有极点位于复平面中 s = −α 左侧。本文的主要贡献可总结如下。

1) 引入通过复平面变换操作实现规定稳定性度的思想，以处理弱阻尼的区域间振荡模式。
2) 在考虑不同运行条件时，获得了闭环电力系统具有规定稳定性度的渐近稳定性的时滞相关充分条件。
3) 提出了一种新颖且相对简单的基于线性矩阵不等式（LMI）的方法，用于获取降阶动态输出反馈控制器的参数，并计算具有规定稳定性度的广域信号中的传输延迟界限。

II. 问题描述

A. 广域信号的模态分析与选择

通常，电力系统的动态行为可以用一组非线性微分代数方程来描述，并且除本地电力系统稳定器和广域阻尼控制器之外的整个电力系统可在平衡点处线性化如下

$$
\Delta \dot{x}_0(t) = A_0 \Delta x_0(t) + B_0 \Delta u_0(t), \quad \Delta y_0(t) = C_0 \Delta x_0(t) \tag{1}
$$

其中 $\Delta x_0(t) \in \mathbb{R}^{n_0}$、$\Delta u_0(t) \in \mathbb{R}^{m_0}$ 和 $\Delta y_0(t) \in \mathbb{R}^{p_0}$ 分别为状态、输入和输出向量。$A_0 \in \mathbb{R}^{n_0 \times n_0}$、$B_0 \in \mathbb{R}^{n_0 \times m_0}$ 和 $C_0 \in \mathbb{R}^{p_0 \times n_0}$ 分别为状态矩阵、输入矩阵和输出矩阵。

系统中第j台发电机某一输入/输出的开环传递函数为

$$
G_j(s) = \frac{\Delta y_j(s)}{\Delta u_j(s)} = \sum_{i=1}^{n_0} \frac{R_{ij}}{s - \lambda_i}, \quad R_{ij} = C_{0j} t_i \nu_i B_{0j} \tag{2}
$$

其中，$\lambda_i (i = 1,\dots,n_0)$ 是 $G_j(s)$ 的特征值，$t_i$ 和 $\nu_i$ 表示右特征向量和左特征向量；$R_{ij}$ 是与特征值 $\lambda_i$ 相关的残差。此外，残差 $R_{ij}$ 可用模式可控性和可观测性来表示。

模式i相对于第j台发电机的可控性由 $K_{cij} = |\nu_i B_{0j}|$ 给出，其可观测性可定义为 $K_{oij} = |C_{0j} t_i|$。由(2)式可知

$$
|R_{ij}| = K_{cij} K_{oij} \tag{3}
$$

$R_{ij}$ 的最大值表示电力系统稳定器位于对第i个局部模式 $\lambda_i$ 具有最佳阻尼效应的j号发电机上。同时还观察到，即使在所选发电机上安装多个电力系统稳定器，某些模式的阻尼仍然较差，因此需要额外的阻尼，特别是针对区域间模式，为此引入了综合残差指数的概念，以选择高效的控制发电机和广域控制信号[16]。

令 $EKo_{ijk}$ 为 $f(Ko_{ij}, Ko_{ik})$，表示从组合信号 i 到信号 j 和 k 的可观测性可以表示为单个信号可观测性 $Ko_{ij}$ 和 $Ko_{ik}$ 的某种函数。因此，$EKo_{ijk}$ 提供了一种评估多个广域信号组合控制效果的方法。相应地，综合残差指数定义为：

$$
SR_{ijk} = K_{cij} EKo_{ijk} \tag{4}
$$

传统基于残差的指标旨在选择最有效的反馈信号。然而，它并不适用于选择可能包含多个广域信号的信号组合。考虑到不同信号的维数不同，我们选择综合残差指标比作为输入信号[16]的选择指标，该指标定义为

$$
\rho = \frac{|SR_{ijk}| n}{|SR {ijk}|_0} \tag{5}
$$

其中，$|SR_{ijk}| n$ 为某一运行工况n下的综合残差指数的模值；$|SR {ijk}|_0$ 为基准运行工况下的综合残差指数的模值。

若某一可选输入信号对应的综合残差指数比值在不同运行条件下变化小于其他信号，则表明该信号作为广域附加阻尼控制器的输入信号时，比其他信号更具鲁棒性和有效性。

B. 带有时滞的电力系统的建模

需要注意的是，(1) 中给出的表示仅在一个系统运行点有效。随着运行工况的变化，矩阵 $A_0$ 和 $B_0$ 也随之变化。此处将这种变化建模为模型不确定性，因此整个系统可以重新表示为以下状态空间形式：

$$
\Delta \dot{x}_0(t) = (A_0 + \Delta A_0(t)) \Delta x_0(t) + (B_0 + \Delta B_0(t)) \Delta u_0(t) \
\Delta y_0(t) = C_0 \Delta x_0(t) \tag{6}
$$

备注 1 输出矩阵 $C_0$ 是常数，因为输出向量 $\Delta y_0(t)$ 通常是发电机的转子角度或发电机角速度，因此此处未考虑输出矩阵 $C_0$ 中的不确定性。

不确定矩阵 $\Delta A_0(t)$ 和 $\Delta B_0(t)$ 被假设具有以下结构：

$$
\Delta A_0(t) = L_A F_A(t) E_A \
\Delta B_0(t) = L_B F_B(t) E_B \tag{7}
$$

其中 $F_A(t)$ 和 $F_B(t)$ 是具有勒贝格可测元素的未知矩阵函数，且满足 $F_A^T(t)F_A(t) \leq I$ 和 $F_B^T(t)F_B(t) \leq I$，$L_A$、$L_B$、$E_A$ 和 $E_B$ 是具有适当维数的已知实常数矩阵。

包含具有模型不确定性的电力系统、广域附加阻尼控制器以及广域信号的传输延迟 $d$ 的闭环电力系统的结构如图1所示。

采用动态输出反馈控制器形式的广域阻尼控制器如图1所示为

$$
\begin{cases}
\dot{x}_W(t) = A_W x_W(t) + B_W u_W(t) \
y_W(t) = C_W x_W(t) + D_W u_W(t)
\end{cases} \tag{8}
$$

其中 $x_W(t) \in \mathbb{R}^{n_W}$、$u_W(t) \in \mathbb{R}^{m_W}$、$y_W(t) \in \mathbb{R}^{p_W}$ 分别是动态输出反馈控制器的状态、输入和输出向量，$A_W \in \mathbb{R}^{n_W \times n_W}$、$B_W \in \mathbb{R}^{n_W \times m_W}$、$C_W \in \mathbb{R}^{p_W \times n_W}$ 和 $D_W \in \mathbb{R}^{p_W \times m_W}$ 是待确定的动态输出反馈控制器的状态、输入、输出和传输矩阵。

注释 2 由于常规电力系统稳定器的阶数为3，因此本文所设计的降阶动态输出反馈控制器的阶数也选择为3，即在下文的仿真部分中 $n_W = 3$。

具有模型不确定性的电力系统与广域附加阻尼控制器之间的连接表示为

$$
\Delta u_0(t) = y_W(t) \
u_W(t) = \Delta y_0(t - d) \tag{9}
$$

由(9)式可以很容易看出，$m_0$ 和 $q_0$ 分别等于 $q_W$ 和 $m_W$。

因此，增广闭环电力系统可以表示为

$$
\dot{x}(t) = (A_x + \Delta A_x(t))x(t) + (A_{dx} + \Delta A_{dx}(t))x(t - d) \tag{10}
$$

其中，

• $x(t) = [\Delta x_0^T(t)\ x_W^T(t)]^T$
• $A_x = \begin{bmatrix} A_0 & B_0 C_W \ 0 & A_W \end{bmatrix}$
• $\Delta A_x(t) = L_A F_A(t) N_1 + L_B F_B(t) N_2$
• $\Delta A_{dx}(t) = L_B F_B(t) N_3$
• $A_{dx} = \begin{bmatrix} B_0 D_W C_0 & 0 \ B_W C_0 & 0 \end{bmatrix}$
• $N_1 = \begin{bmatrix} E_A & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$
• $N_2 = \begin{bmatrix} 0 & E_B C_W \ 0 & 0 \end{bmatrix}$
• $N_3 = \begin{bmatrix} E_B D_W C_0 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$

接下来，介绍规定稳定性度的定义。

定义 ：如果一个系统具有规定稳定性度 $\alpha$，则该系统是渐近稳定的，而且其所有特征值的实部均小于 $-\alpha$。

III. 主要结果

为了实现规定的稳定性程度，设变换操作的像函数为

$$
z(t) = x(t) e^{\alpha t} \tag{11}
$$

其中 $\alpha > 0$ 表示规定稳定性度。变换后的系统可以表示为

$$
\dot{z}(t) = (A_z + \Delta A_z(t))z(t) + (A_{dz} + \Delta A_{dz}(t))z(t - d) \tag{12}
$$

其中 $A_z = \alpha I + A_x$, $\Delta A_z(t) = \Delta A_x(t)$, $A_{dz} = A_{dx} e^{d\alpha}$, $\Delta A_{dz} = \Delta A_{dx} e^{d\alpha}$。

注释 2 可以很容易地看出，系统(10)的所有特征值的实部都小于系统(12)的特征值的实部。因此，如果变换后的系统(12)是渐近稳定的，则增广闭环系统(10)具有规定稳定性度 $\alpha$ 的渐近稳定性，从而能够实现期望的阻尼效应。

在给出主要结果之前，先引入以下引理。

引理 [17] 设 $D$、$E$ 和 $F(t)$ 是适当维数的实矩阵，且满足 $F^T(t)F(t) \leq I$，则对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，我们有

$$
DF(t)E + E^T F^T(t) D^T \leq \varepsilon D D^T + \varepsilon^{-1} E^T E
$$

定理 1 对于给定的 $d$，$\alpha$，$A_W$，$B_W$，$C_W$，$D_W$，若存在对称正定矩阵 $P$、$Q$、$R$，任意适当维数的矩阵 $S_1, S_2, S_3$，任意适当维数的对角矩阵 $M_1, M_2, M_3$，以及任意正常数 $\varepsilon_1$、$\beta_1$、$\iota_1$、$\varepsilon_2$、$\beta_2$、$\iota_2$、$\varepsilon_3$、$\beta_3$、$\iota_3$，使得以下线性矩阵不等式成立，则系统 (12) 是具有规定稳定性度 $\alpha$ 的渐近稳定系统：

$$
\begin{bmatrix}
\Pi_1 & \Pi_{12} & \Pi_{13} & dS_1 \
\Pi_{12}^T & \Pi_2 & \Pi_{23} & dS_2 \
\Pi_{13}^T & \Pi_{23}^T & \Pi_3 & dS_3 \
dS_1^T & dS_2^T & dS_3^T & -dR
\end{bmatrix} < 0 \tag{13}
$$

其中

• $\Pi_1 = Q + S_1 + S_1^T + M_1 A_z + A_z^T M_1^T + M_1[\varepsilon_1^{-1} L_A L_A^T + (\varepsilon_2^{-1} + \varepsilon_3^{-1}) L_B L_B^T] M_1^T + (\varepsilon_1 + \beta_1 + \iota_1) N_1^T N_1 + (\varepsilon_2 + \beta_2 + \iota_2) N_2^T N_2$
• $\Pi_{12} = S_2 - S_1^T + M_1 A_{dz} + A_z^T M_2^T$
• $\Pi_{13} = P + S_3^T + S_1^T + M_1 + A_z^T M_3^T$
• $\Pi_2 = -Q - S_2 - S_2^T + M_2 A_{dz} + A_{dz}^T M_2^T + M_2[\beta_1^{-1} L_A L_A^T + (\beta_2^{-1} + \beta_3^{-1}) L_B L_B^T] M_2^T + (\varepsilon_3 + \beta_3 + \iota_3) e^{2d\alpha} N_3^T N_3$
• $\Pi_{23} = A_{dz}^T M_3^T - M_2$
• $\Pi_3 = -dR + M_3[\iota_1^{-1} L_A L_A^T + (\iota_2^{-1} + \iota_3^{-1}) L_B L_B^T] M_3^T$

证明 ：选择如下李雅普诺夫‐克拉索夫斯基泛函

$$
V(z(t)) = z^T(t) P z(t) + \int_{t-d}^{t} z^T(s) Q z(s) ds + \int_{-d}^{0} \int_{t+\theta}^{t} \dot{z}^T(s) R \dot{z}(s) ds d\theta \tag{14}
$$

其中 $P$、$Q$、$R$ 为待确定的对称正定矩阵。

沿 (12) 轨迹对 $V(z(t))$ 求时间导数，结果为

$$
\dot{V}(z(t)) = 2z^T(t) P \dot{z}(t) + z^T(t) Q z(t) - z^T(t-d) Q z(t-d) + d \dot{z}^T(t) R \dot{z}(t) - \int_{t-d}^{t} \dot{z}^T(s) R \dot{z}(s) ds \tag{15}
$$

对于任意适当维数的矩阵 $S = [S_1^T\ S_2^T\ S_3^T]^T$ 和 $M = [M_1^T\ M_2^T\ M_3^T]^T$，以下方程成立

$$
2\varsigma^T(t) S \left[ z(t) - z(t-d) - \int_{t-d}^{t} \dot{z}(s) ds \right] = 0 \
2\varsigma^T(t) M \left[ (A_z + \Delta A_z(t)) z(t) + (A_{dz} + \Delta A_{dz}(t)) z(t-d) - \dot{z}(t) \right] = 0 \tag{16}
$$

$$
d \varsigma^T(t) S R^{-1} S^T \varsigma(t) - \int_{t-d}^{t} \varsigma^T(t) S R^{-1} S^T \varsigma(t) ds = 0
$$

其中 $\varsigma(t) = [z^T(t)\ z^T(t-d)\ \dot{z}^T(t)]^T$。

根据引理1，可得到以下不等式：

$$
2\varsigma^T(t) M \Delta A_z(t) z(t) = 2[z^T(t) M_1 + z^T(t-d) M_2 + \dot{z}^T(t) M_3] L_A F_A(t) N_1 z(t) + 2[z^T(t) M_1 + z^T(t-d) M_2 + \dot{z}^T(t) M_3] L_B F_B(t) N_2 z(t)
$$

$$
\leq z^T(t)[\varepsilon_1^{-1} M_1 L_A L_A^T M_1^T + (\varepsilon_1 + \beta_1 + \iota_1) N_1^T N_1] z(t) + z^T(t-d) M_2(\beta_1^{-1} L_A L_A^T + \beta_2^{-1} L_B L_B^T) M_2^T z(t-d)
$$

$$
+ z^T(t)[\varepsilon_2^{-1} M_1 L_B L_B^T M_1^T + (\varepsilon_2 + \beta_2 + \iota_2) N_2^T N_2] z(t) + \dot{z}^T(t) M_3(\iota_1^{-1} L_A L_A^T + \iota_2^{-1} L_B L_B^T) M_3^T \dot{z}(t) \tag{17}
$$

$$
2\varsigma^T(t) M \Delta A_{dz}(t) z(t-d) = 2[z^T(t) M_1 + z^T(t-d) M_2 + \dot{z}^T(t) M_3] e^{d\alpha} L_B F_B(t) N_3 z(t-d)
$$

$$
\leq \varepsilon_3^{-1} z^T(t) M_1 L_B L_B^T M_1^T z(t) + \iota_3^{-1} \dot{z}^T(t) M_3 L_B L_B^T M_3^T \dot{z}(t) + z^T(t-d)[\beta_3^{-1} M_2 L_B L_B^T M_2^T + (\varepsilon_3 + \beta_3 + \iota_3) e^{2d\alpha} N_3^T N_3] z(t-d) \tag{18}
$$

将 (16)、(17) 和 (18) 代入 (15)，可得到以下不等式：

$$
\dot{V}(z(t)) = \varsigma^T(t) (\Omega + d S R^{-1} S^T) \varsigma(t) - \int_{t-d}^{t} [\dot{z}^T(s) R + \varsigma^T(t) S] R^{-1} [R \dot{z}(s) + S^T \varsigma(t)] ds \tag{19}
$$

$$
\leq \varsigma^T(t) (\Omega + d S R^{-1} S^T) \varsigma(t)
$$

其中 $\Omega = \begin{bmatrix} \Pi_1 & \Pi_{12} & \Pi_{13} \ \Pi_{12}^T & \Pi_2 & \Pi_{23} \ \Pi_{13}^T & \Pi_{23}^T & \Pi_3 \end{bmatrix}$。

根据舒尔补引理，可知线性矩阵不等式 (13) 等价于 $\Omega + d S R^{-1} S^T < 0$ 能够保证 $\dot{V}(z(t))$ 的负定性，这直接表明修正系统 (12) 是渐近稳定的。因此，增广闭环系统 (10) 具有规定稳定性度 $\alpha$ 且是渐近稳定的。定理 1 的证明完成。

接下来，将讨论求解动态输出反馈控制器参数矩阵的方法。

定理 2 对于给定的标量 $d$, $\alpha$, $\varepsilon_1$, $\beta_1$, $\iota_1$, $\varepsilon_2$, $\beta_2$, $\iota_2$, $\varepsilon_3$, $\beta_3$, $\iota_3$，若存在对称正定矩阵 $\hat{P}$, $\hat{Q}$, $\hat{R}$、可逆矩阵 $X_1$, $X_2$ 以及任意适当维数的矩阵 $\hat{S}_1$, $\hat{S}_2$, $\hat{S}_3$, $\hat{A}$, $\hat{B}$, $\hat{C}$, $\hat{D}$，使得以下线性矩阵不等式成立：

$$
\begin{bmatrix}
\hat{\Pi} 1 & \hat{\Pi} {12} & \hat{\Pi} {13} & d \hat{S}_1 & \Phi_3^T & \Phi_4^T & 0 \
\hat{\Pi} {12}^T & \hat{\Pi} 2 & \hat{\Pi} {23} & d \hat{S} 2 & 0 & 0 & \Phi_5^T \
\hat{\Pi} {13}^T & \hat{\Pi}_{23}^T & \hat{\Pi}_3 & d \hat{S}_3 & 0 & 0 & 0 \
d \hat{S}_1^T & d \hat{S}_2^T & d \hat{S}_3^T & -d \hat{R} & 0 & 0 & 0 \
\Phi_3 & 0 & 0 & 0 & -\mu_1 I & 0 & 0 \
\Phi_4 & 0 & 0 & 0 & 0 & -\mu_2 I & 0 \
0 & \Phi_5 & 0 & 0 & 0 & 0 & -\mu_3 I
\end{bmatrix} < 0 \tag{20}
$$

此外，DOFC 的参数由以下给出：

$$
A_W = \hat{A} X_2^{-1} - \alpha I, \quad B_W = \hat{B} X_1^{-1} C_0^{-1} \
C_W = \hat{C} X_2^{-1}, \quad D_W = \hat{D} X_1^{-1} C_0^{-1} \tag{21}
$$

IV. 四机双-区电力系统仿真

案例研究在如图2所示的四机两区基准电力系统上进行。测试系统的详细参数见[6]。

A. 振荡分析

开环测试系统在 $P = 400\,\text{MW}$ 下的机电振荡模式如表1所示。

表1 开环系统特征值分析

No.	特征值	频率 (Hz)	阻尼比
1	$-0.1079 \pm j4.0265$	0.6408	-0.0268
2	$-0.6760 \pm j7.0458$	1.1214	0.0955
3	$-0.6684 \pm j7.2672$	1.1566	0.0916

在表1中，模式1是区域间振荡，模式2和模式3是局部振荡。通过式(3)中残差矩阵的计算可知，G1和G3是局部振荡模式的主导机组。因此，为G1和G3配置电力系统稳定器以抑制这两个局部振荡模式，其电力系统稳定器的传递函数与[1],[6]中的相同，表达如下

$$
HL(s) = \frac{30}{1+10s} \cdot \frac{1+0.05s}{1+0.02s} \cdot \frac{1+3s}{1+5.4s} \tag{24}
$$

其输出受 $\pm 0.15\,\text{pu}$ 限制。

显然，局部PSS的配置使得系统所有特征值的实部均为负值，但系统仍存在一个频率为0.6567、阻尼比为0.0823的区域间低频振荡模式。因此，有必要进行配置以抑制区域间低频振荡。控制器的广域输入信号将从发电机G1和G3的转速偏差或角偏差中选取。在母线7到9的有功功率潮流 $P$ 分别为400、100和-400兆瓦的运行条件下，综合残差指标比如下表2所示。

表2 不同运行条件下的 $\rho$

$P$ (MW)	$|SR_1|$	$|SR_2|$	$\rho_1$	$\rho_2$
400	0.0042	28.6612	1	1
100	0.0016	7.6149	0.381	0.266
-400	0.0080	22.4032	0.505	0.482

在表2中，下标1和2表示输入信号分别为发电机G1和G3的转速偏差和相角偏差。显然，转速偏差的综合残差指标比始终大于相角差的综合残差指标比。因此，广域附加阻尼控制器安装在发电机G1处，其输入信号选择为G1与G3之间的转子转速差。

对于图2所示的电力系统，当功率传输方向反转时，即400兆瓦功率从G2传输到G1[18]时，出现最大不确定性。此时，除广域附加控制器外的整个系统可在平衡点处线性化为 $\Delta \dot{x}_0(t) = A_1 \Delta x_0(t) + B_1 \Delta u_0(t)$。不确定性可以由以下内容描述：

$$
\theta_{Aij} = |A_{0ij} - A_{1ij}|, \quad i,j = 1,2,\dots,n \
\theta_{Bik} = |B_{0ik} - B_{1ik}|, \quad k = 1,2,\dots,m
$$

$$
L_A = [\sqrt{\theta_{A11}} e_1 \cdots \sqrt{\theta_{Ann}} e_n] \
E_A^T = [\sqrt{\theta_{A11}} e_1 \cdots \sqrt{\theta_{Ann}} e_n] \
F_A(t) = \text{diag}{\delta_{11} \cdots \delta_{nn}} \
L_B = [\sqrt{\theta_{B11}} e_1 \cdots \sqrt{\theta_{Bnk}} e_n] \
E_B^T = [\sqrt{\theta_{B11}} e_1 \cdots \sqrt{\theta_{Bnk}} e_k] \
F_B(t) = \text{diag}{\varepsilon_{11} \cdots \varepsilon_{nk}}
$$

其中，$n$ 和 $m$ 为矩阵的维数，$e_i$ 是单位矩阵的第i列向量，$|\delta_{ij}| \leq 1$ 和 $|\varepsilon_{ik}| \leq 1$。

根据定理2，相对于规定稳定性度的时滞裕度 $d$ 如表3所示。

表3 不同 $\alpha$ 影响下的时延裕度 $d$

$\alpha$	0	0.05	0.1	0.15	0.2	0.25	0.3	0.35
$\bar{d}$/s	0.4820	0.4299	0.3916	0.3547	0.3155	0.2726	0.2405	0.2363

显然，当规定的稳定度 $\alpha$ 增加时，延迟裕度 $\bar{d}$ 会减小，这意味着电力系统的时延相关稳定性降低。假设 $\alpha = 0.2$ 和 $d = 0.2\,\text{s}$，并求解线性矩阵不等式(20)，得到动态输出反馈控制器的参数如下：

$$
A_W = \begin{bmatrix}
-1.2092 & -0.0141 & -0.0141 \
-0.0141 & -1.2094 & -0.0141 \
-0.0141 & -0.0141 & -1.2094
\end{bmatrix}, \quad
B_W = \begin{bmatrix}
-0.6597 \ -0.6597 \ -0.6597
\end{bmatrix}, \
C_W = \begin{bmatrix}
0.1403 & 0.1403 & 0.1403
\end{bmatrix}, \quad
D_W = 14.6247.
$$

备注 无论给定的标量如何变化，控制器参数都具有这种特殊形式，这可能是由于 $M_1$, $M_2$ 和 $M_3$ 的特定结构所导致的。

当 $\alpha = 0.2$ 且 $d = 0.2\,\text{s}$ 时，通过以下三种场景验证了本文提出的动态输出反馈控制器相对于广域PSS在[6]中的优势。场景I为故障清除后跳闸的故障输电线路不再重合。场景II为G1的参考端电压在 $t = 1\,\text{s}$ 时增加+5%。场景III为联络线的总功率潮流变为90%。图3、图4和图5分别展示了系统对场景I、II和III的响应。

图3表明，与[6]中的广域PSS相比，当系统受到三相短路扰动时，本文提出的动态输出反馈控制器能够以更小的振荡和更短的稳定时间快速稳定上述系统。图4说明，当G1的参考电压升高时，本文的 $\omega_{13}$ 具有更快的稳定速度和更小的波动。图5表明，当联络线有功功率变化至90%时，本文建议的动态输出反馈控制器具有更好的动态性能，尤其是振荡幅度更小。因此可以得出结论：与[6]中的广域PSS相比，本文提出的动态输出反馈控制器能够为系统提供更充分的阻尼，在不同外部扰动下表现出更令人满意的区域间振荡抑制性能。

V. 结论

本文提出了一种具有规定稳定度的广域动态反馈控制方案，以抑制具有运行不确定性的互联电力系统的区域间低频振荡。仿真结果表明，所提出的控制方案是有效的，并允许闭环系统快速收敛。在不同外部扰动下的状态响应与参考文献[6]的比较表明，我们的方法能更好地抑制区域间低频振荡，允许更大的通信延迟，并具有更优的稳定效果。