关于斐波那契数列的一些小性质
1.gcd(Fi,Fi+1)=1gcd(Fi,Fi+1)=1
这个看起来很显然
下面给出严谨的证明
利用数学归纳法:
我们已知F1=1,F2=1,F3=2F1=1,F2=1,F3=2可知对于i≤3i≤3,都有gcd(Fi,Fi+1)=1gcd(Fi,Fi+1)=1
那么
gcd(Fi+1,Fi+2)gcd(Fi+1,Fi+2)
=gcd(Fi+1,Fi+1+Fi)=gcd(Fi+1,Fi+1+Fi)
=gcd(Fi+1,Fi)=gcd(Fi+1,Fi)
=1=1
问题得证
2.gcd(Fm,Fn)=Fgcd(m,n)gcd(Fm,Fn)=Fgcd(m,n)
这个不太显然
m=nm=n的情况讨论起来没什么意义
对于m≠nm≠n的情况,不妨设m>nm>n
Fm =Fm−1+Fm−2Fm =Fm−1+Fm−2
=F2Fm−1+F1Fm−2=F2Fm−1+F1Fm−2
=F2(Fm−2+Fm−3)+F1Fm−2=F2(Fm−2+Fm−3)+F1Fm−2
=(F1+F2)Fm−2+F2Fm−3=(F1+F2)Fm−2+F2Fm−3
=F3Fm−2+F2Fm−3=F3Fm−2+F2Fm−3
=FnFm−n+1+Fn−1Fm−n=FnFm−n+1+Fn−1Fm−n
所以
gcd(Fm,Fn)=gcd(FnFm−n+1+Fn−1Fm−n,Fn)=gcd(Fn−1Fm−n,Fn)gcd(Fm,Fn)=gcd(FnFm−n+1+Fn−1Fm−n,Fn)=gcd(Fn−1Fm−n,Fn)
由于gcd(Fn,Fn−1)=1gcd(Fn,Fn−1)=1
所以
原式=gcd(Fm−n,Fn)=gcd(Fm−n,Fn)
形成了辗转相除的形式
所以
gcd(Fm,Fn)=Fgcd(m,n)gcd(Fm,Fn)=Fgcd(m,n)