关于斐波那契数列的一些小(晓)性质

本文探讨了斐波那契数列的两个重要性质:任意相邻两项的最大公约数为1;不同项间最大公约数的关系。通过数学归纳法等手段给出了严谨的证明。

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关于斐波那契数列的一些小性质

1.gcd(Fi,Fi+1)=1gcd(Fi,Fi+1)=1
这个看起来很显然
下面给出严谨的证明
利用数学归纳法:
我们已知F1=1,F2=1,F3=2F1=1,F2=1,F3=2可知对于i3i≤3,都有gcd(Fi,Fi+1)=1gcd(Fi,Fi+1)=1
那么
gcd(Fi+1,Fi+2)gcd(Fi+1,Fi+2)
=gcd(Fi+1,Fi+1+Fi)=gcd(Fi+1,Fi+1+Fi)
=gcd(Fi+1,Fi)=gcd(Fi+1,Fi)
=1=1
问题得证
2.gcd(Fm,Fn)=Fgcd(m,n)gcd(Fm,Fn)=Fgcd(m,n)
这个不太显然
m=nm=n的情况讨论起来没什么意义
对于mnm≠n的情况,不妨设m>nm>n
Fm =Fm1+Fm2Fm =Fm−1+Fm−2
=F2Fm1+F1Fm2=F2Fm−1+F1Fm−2
=F2(Fm2+Fm3)+F1Fm2=F2(Fm−2+Fm−3)+F1Fm−2
=(F1+F2)Fm2+F2Fm3=(F1+F2)Fm−2+F2Fm−3
=F3Fm2+F2Fm3=F3Fm−2+F2Fm−3
=FnFmn+1+Fn1Fmn=FnFm−n+1+Fn−1Fm−n
所以
gcd(Fm,Fn)=gcd(FnFmn+1+Fn1Fmn,Fn)=gcd(Fn1Fmn,Fn)gcd(Fm,Fn)=gcd(FnFm−n+1+Fn−1Fm−n,Fn)=gcd(Fn−1Fm−n,Fn)
由于gcd(Fn,Fn1)=1gcd(Fn,Fn−1)=1
所以
原式=gcd(Fmn,Fn)=gcd(Fm−n,Fn)
形成了辗转相除的形式
所以
gcd(Fm,Fn)=Fgcd(m,n)gcd(Fm,Fn)=Fgcd(m,n)

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