扇形染色问题 Python解法

问题描述

将一个圆形等分成N个小扇形,将这些扇形标记为1,2,3,…,N。现在使用M种颜色对每个扇形进行涂色，每个扇形涂一种颜色，且相邻的扇形颜色不同。

求：有多少种涂色方法。
备注：

1. 不考虑数值越界。
2. N>=1，M>=3;

思路

设$a(n)$为符合要求的第$n$个扇形的涂色方法。
对扇形1有m种涂色方法，扇形2有$m－1$种涂色方法，扇形3也有$m－1$种涂色方法，扇形n也有$m－1$种涂色方法。于是，共有$m×(m−1)^{(n−1)}$种不同的涂色方法，但是这种涂色方法可能出现1与n着色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从$m×(m−1)^{(n−1)}$中减去这些不符合题意的涂色方法。不符合题意的涂色方法怎么计算？1与n看做是一个扇形，其涂色方法相当于用m种颜色对n-1个扇形涂色，即$a(n-1)$，于是：

$$a(n)=m*(m-1)^{(n-1)}-a(n-1), n>=3$$
可推导出$a(n)$的通项公式： $$a(n)= (m-1)^{n} - (-1)^n (m-1)\cdots \cdots (n≥3)$$

代码实现

def circle_divide(m, n):
    if n == 1:
        return m
    elif n == 2:
        return m*(m - 1)
    return m* (m - 1)^(n - 1) - circle_divide(m, n-1)