漫画：如何实现大整数相乘？

前一段时间，小灰发布了一篇有关大整数相加的漫画，没看过的小伙伴可以先看一看：

漫画：如何实现大整数相加？（修订版）

 

那么，大整数相乘又是如何实现的呢？

 

起初，小灰认为只要按照大整数相加的思路稍微做一下变形，就可以轻松实现大整数相乘。但是随着深入的学习，小灰才发现事情并没有那么简单......

 

 

 

 

—————  第二天  —————

 

 

 

 

 

怎样列出这个乘法竖式呢？以 93281 X 2034 为例，竖式如下：

 

 

 

在程序中，我们可以利用int型数组，把两个大整数按位进行存储，再把数组中的元素像小学竖式那样逐个进行计算。

 

这个乘法竖式的计算过程可以大体分为两步：

1.整数B的每一个数位和整数A所有数位依次相乘，得到中间结果。

2.所有中间结果相加，得到最终结果。

 

 

1. /**

2. * 大整数求乘积

3. * @param bigNumberA  大整数A

4. * @param bigNumberB  大整数B

5. */

6. public static String multiply(String bigNumberA, String bigNumberB) {

7.    //1.把两个大整数用数组逆序存储，数组长度等于两整数长度之和

8.    int lengthA = bigNumberA.length();

9.    int lengthB = bigNumberB.length();

10.    int[] arrayA = new int[lengthA];

11.    for(int i=0; i< lengthA; i++){

12.        arrayA[i] = bigNumberA.charAt(lengthA-1-i) - '0';

13.    }

14.    int[] arrayB = new int[lengthB];

15.    for(int i=0; i< lengthB; i++){

16.        arrayB[i] = bigNumberB.charAt(lengthB-1-i) - '0';

17.    }

18.    //2.构建result数组，数组长度等于两整数长度之和

19.    int[] result = new int[lengthA+lengthB];

20.    //3.嵌套循环，整数B的每一位依次和整数A的所有数位相乘，并把结果累加

21.    for(int i=0;i<lengthB;i++) {

22.        for(int j=0;j<lengthA;j++) {

23.            //整数B的某一位和整数A的某一位相乘

24.            result[i+j] += arrayB[i]*arrayA[j];

25.            //如果result某一位大于10，则进位，进位数量是该位除以10的商

26.            if(result[i+j] >= 10){

27.                result[i+j+1] += result[i+j]/10;

28.                result[i+j] = result[i+j]%10;

29.            }

30.        }

31.    }

32.    //4.把result数组再次逆序并转成String

33.    StringBuilder sb = new StringBuilder();

34.    //是否找到大整数的最高有效位

35.    boolean findFirst = false;

36.    for (int i = result.length - 1; i >= 0; i--) {

37.        if(!findFirst){

38.            if(result[i] == 0){

39.                continue;

40.            }

41.            findFirst = true;

42.        }

43.        sb.append(result[i]);

44.    }

45.    return sb.toString();

46. }

47.  

48. public static void main(String[] args) {

49.    String x = "3338429042340042304302404";

50.    String y = "12303231";

51.    System.out.println(multiply(x, y));

52. }

 

 

 

 

————————————

 

 

 

 

 

 

 

 

下面，我们的推导会有一些烧脑，请大家坐稳扶好~~

 

大整数从高位到低位，被平分成了两部分。设整数1的高位部分是A，低位部分是B；整数2的高位部分是C，低位部分是D，那么有如下等式：

 

 

如果把大整数的长度抽象为n，那么：

 

 

因此，整数1与整数2 的乘积可以写成下面的形式：

 

 

如此一来，原本长度为n的大整数的1次乘积，被转化成了长度为n/2的大整数的4次乘积（AC，AD，BC，BD）。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

什么是master定理呢？

 

master定理的英语名称是master theorem，它为许多由分治法得到的递推关系式提供了渐进时间复杂度分析。

 

设常数a >= 1，b > 1，如果一个算法的整体计算规模 T(n) =  a T(n / b) + f(n)，那么则有如下规律：

 

 

 

假设两个长度为n的大整数相乘，整体运算规模是T(n) 。

 

根据刚才得到的结论，两个大整数相乘被拆分成四个较小的乘积：

所以在第一次分治时，T(n)和T(n/2)有如下关系：

T(n) = 4T(n/2) + f(n)

其中f(n)是4个乘积结果相加的运算规模，f(n)的渐进时间复杂度很明显是O(n)。

 

把这个关系带入到master定理的公式 T(n) =  a T(n / b) + f(n) 当中，

此时 a=4， b=2。

 

此时，把a和b的值，以及f(n)的时间复杂度带入到master定理的第一个规律，也就是下面的规律：

 

 

发现正好符合条件。

 

怎么符合呢？推导过程如下：

 

 

所以我们的平均时间复杂度是：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

如何做调整呢？其实很简单，连小学生都会：

 

 

这样一来，原本的4次乘法和3次加法，转变成了3次乘法和6次加法。

 

 

 

 

这样一来，时间复杂度是多少呢？

 

假设两个长度为n的大整数相乘，整体运算规模是T(n) 。

 

刚才我们说过，两个大整数相乘可以被拆分成三个较小的乘积，

所以在第一次分治时，T(n)和T(n/2)有如下关系：

T(n) = 3T(n/2) + f(n)

其中f(n)是6次加法的运算规模，f(n)的渐进时间复杂度很明显是O(n)。

 

此时让我们回顾一下master定理：

 

设常数a >= 1，b > 1，如果一个算法的整体计算规模 T(n) =  a T(n / b) + f(n)，那么则有如下规律：

 

对于T(n) = 3T(n/2) + f(n)这个关系式来说， a=3， b=2。

 

把a和b的值，以及f(n)的时间复杂度带入到master定理的第一个规律，也就是下面的规律：

 

 

发现正好符合条件。

 

怎么符合条件呢？推导过程如下：

 

 

所以我们的平均时间复杂度是：

 

2 和 1.59 之间的差距看似不大，但是当整数长度非常大的时候，两种方法的性能将是天壤之别。

 

 

 

 

下面展示一下实现代码。我们的代码非常复杂，在这里只作为参考，最重要的还是解决问题的思路：

 

1. /**

2. * 大整数乘法

3. * @param bigNumberA  大整数A

4. * @param bigNumberB  大整数B

5. */

6. public static String bigNumberMultiply(String bigNumberA, String bigNumberB) {

7.    boolean isNegative = false;

8.    if ((bigNumberA.startsWith("-") && bigNumberB.startsWith("-"))

9.            || (!bigNumberA.startsWith("-") && !bigNumberB.startsWith("-"))) {

10.        // 两数同符号的情况

11.        bigNumberA = bigNumberA.replaceAll("-", "");

12.        bigNumberB = bigNumberB.replaceAll("-", "");

13.    } else if ((bigNumberA.startsWith("-") && !bigNumberB.startsWith("-"))

14.            || (!bigNumberA.startsWith("-") && bigNumberB.startsWith("-"))) {

15.        // 两数不同符号的情况

16.        bigNumberA = bigNumberA.replace("-", "");

17.        bigNumberB = bigNumberB.replace("-", "");

18.        isNegative = true;

19.    }

20.    // 如果两数长度之和小于10，直接相乘返回

21.    if (bigNumberA.length() + bigNumberB.length() < 10) {

22.        // 计算乘积

23.        int tmp = (Integer.parseInt(bigNumberA) * Integer.parseInt(bigNumberB));

24.        if (tmp == 0) {

25.            return "0";

26.        }

27.        String value = String.valueOf(tmp);

28.        if(isNegative){

29.            value = "-" + value;

30.        }

31.        return value;

32.    }

33.    // 公式 AC * 10^n+((A-B)(D-C)+AC+BD) * 10^(n/2)+BD当中的a,b,c,d

34.    String a, b, c, d;

35.    if (bigNumberA.length() == 1) {

36.        a = "0";

37.        b = bigNumberA;

38.    } else {

39.        if (bigNumberA.length() % 2 != 0) {

40.            bigNumberA = "0" + bigNumberA;

41.        }

42.        a = bigNumberA.substring(0, bigNumberA.length() / 2);

43.        b = bigNumberA.substring(bigNumberA.length() / 2);

44.    }

45.    if (bigNumberB.length() == 1) {

46.        c = "0";

47.        d = bigNumberB;

48.    } else {

49.        if (bigNumberB.length() % 2 != 0) {

50.            bigNumberB = "0" + bigNumberB;

51.        }

52.        c = bigNumberB.substring(0, bigNumberB.length() / 2);

53.        d = bigNumberB.substring(bigNumberB.length() / 2);

54.    }

55.    // 按最大位数取值，以确定补零数目

56.    int n = bigNumberA.length() >= bigNumberB.length() ? bigNumberA.length() : bigNumberB.length();

57.  

58.    //t1,t2为中间运算结果，t3为乘法运算完毕的结果

59.    String t1, t2, t3;

60.    String ac = bigNumberMultiply(a, c);

61.    String bd = bigNumberMultiply(b, d);

62.  

63.    //t1=(A-B)(D-C)

64.    t1 = bigNumberMultiply(bigNumberSubtract(a, b), bigNumberSubtract(d, c));

65.    //t2=(A-B)(D-C)+AC+BD

66.    t2 = bigNumberSum(bigNumberSum(t1, ac), bd);

67.    //t3= AC * 10^n+((A-B)(D-C)+AC+BD) * 10^(n/2)+BD

68.    t3 = bigNumberSum(bigNumberSum(Power10(ac, n), Power10(t2, n/2)), bd).replaceAll("^0+", "");

69.    if (t3 == "")

70.        return "0";

71.    if(isNegative){

72.        return "-" + t3;

73.    }

74.    return t3;

75. }

76.  

77.  

78.  

79. /**

80. * 大整数加法

81. * @param bigNumberA  大整数A

82. * @param bigNumberB  大整数B

83. */

84. public static String bigNumberSum(String bigNumberA, String bigNumberB) {

85.  

86.    if (bigNumberA.startsWith("-") && !bigNumberB.startsWith("-")) {

87.        return bigNumberSubtract(bigNumberB, bigNumberA.replaceAll("^-", ""));

88.    } else if (!bigNumberA.startsWith("-") && bigNumberB.startsWith("-")) {

89.        return bigNumberSubtract(bigNumberA, bigNumberB.replaceAll("^-", ""));

90.    } else if (bigNumberA.startsWith("-") && bigNumberB.startsWith("-")) {

91.        return "-" + bigNumberSum(bigNumberA.replaceAll("^-", ""), bigNumberB.replaceAll("^-", ""));

92.    }

93.  

94.    //1.把两个大整数用数组逆序存储，数组长度等于较大整数位数+1

95.    int maxLength = bigNumberA.length() > bigNumberB.length() ? bigNumberA.length() : bigNumberB.length();

96.    int[] arrayA = new int[maxLength+1];

97.    for(int i=0; i< bigNumberA.length(); i++){

98.        arrayA[i] = bigNumberA.charAt(bigNumberA.length()-1-i) - '0';

99.    }

100.    int[] arrayB = new int[maxLength+1];

101.    for(int i=0; i< bigNumberB.length(); i++){

102.        arrayB[i] = bigNumberB.charAt(bigNumberB.length()-1-i) - '0';

103.    }

104.    //2.构建result数组，数组长度等于较大整数位数+1

105.    int[] result = new int[maxLength+1];

106.    //3.遍历数组，按位相加

107.    for(int i=0; i<result.length; i++){

108.        int temp = result[i];

109.        temp += arrayA[i];

110.        temp += arrayB[i];

111.        //判断是否进位

112.        if(temp >= 10){

113.            temp -= 10;

114.            result[i+1] = 1;

115.        }

116.        result[i] = temp;

117.    }

118.    //4.把result数组再次逆序并转成String

119.    StringBuilder sb = new StringBuilder();

120.    //是否找到大整数的最高有效位

121.    boolean findFirst = false;

122.    for (int i = result.length - 1; i >= 0; i--) {

123.        if(!findFirst){

124.            if(result[i] == 0){

125.                continue;

126.            }

127.            findFirst = true;

128.        }

129.        sb.append(result[i]);

130.    }

131.    return sb.toString();

132. }

133.  

134.  

135. /**

136. * 大整数减法

137. * @param bigNumberA  大整数A

138. * @param bigNumberB  大整数B

139. */

140. public static String bigNumberSubtract(String bigNumberA, String bigNumberB) {

141.    int compareResult = compare(bigNumberA, bigNumberB);

142.    if (compareResult == 0) {

143.        return "0";

144.    }

145.    boolean isNegative = false;

146.    if (compareResult == -1) {

147.        String tmp = bigNumberB;

148.        bigNumberB = bigNumberA;

149.        bigNumberA = tmp;

150.        isNegative = true;

151.    }

152.    //1.把两个大整数用数组逆序存储，数组长度等于较大整数位数+1

153.    int maxLength = bigNumberA.length() > bigNumberB.length() ? bigNumberA.length() : bigNumberB.length();

154.    int[] arrayA = new int[maxLength+1];

155.    for(int i=0; i< bigNumberA.length(); i++){

156.        arrayA[i] = bigNumberA.charAt(bigNumberA.length()-1-i) - '0';

157.    }

158.    int[] arrayB = new int[maxLength+1];

159.    for(int i=0; i< bigNumberB.length(); i++){

160.        arrayB[i] = bigNumberB.charAt(bigNumberB.length()-1-i) - '0';

161.    }

162.    //2.构建result数组，数组长度等于较大整数位数+1

163.    int[] result = new int[maxLength+1];

164.    //3.遍历数组，按位相加

165.    for(int i=0; i<result.length; i++){

166.        int temp = result[i];

167.        temp += arrayA[i];

168.        temp -= arrayB[i];

169.        //判断是否进位

170.        if(temp < 0){

171.            temp += 10;

172.            result[i+1] = -1;

173.        }

174.        result[i] = temp;

175.    }

176.    //4.把result数组再次逆序并转成String

177.    StringBuilder sb = new StringBuilder();

178.    //是否找到大整数的最高有效位

179.    boolean findFirst = false;

180.    for (int i = result.length - 1; i >= 0; i--) {

181.        if(!findFirst){

182.            if(result[i] == 0){

183.                continue;

184.            }

185.            findFirst = true;

186.        }

187.        sb.append(result[i]);

188.    }

189.    String value = sb.toString();

190.    if (isNegative) {

191.        value = "-" + value;

192.    }

193.    return value;

194. }

195.  

196.  

197. // 比较大小

198. private static int compare(String x, String y) {

199.    if (x.length() > y.length()) {

200.        return 1;

201.    } else if (x.length() < y.length()) {

202.        return -1;

203.    } else {

204.        for (int i = 0; i < x.length(); i++) {

205.            if (x.charAt(i) > y.charAt(i)) {

206.                return 1;

207.            } else if (x.charAt(i) < y.charAt(i)) {

208.                return -1;

209.            }

210.        }

211.        return 0;

212.    }

213. }

214.  

215.  

216. // 扩大10的n次方倍

217. public static String Power10(String num, int n) {

218.    for (int i = 0; i < n; i++) {

219.        num += "0";

220.    }

221.    return num;

222. }

223.  

224.  

225. public static void main(String[] args) {

226.    String x = "1513143";

227.    String y = "9345963";

228.    System.out.println(bigNumberMultiply(x, y));

229. }

 

需要注意的是，这段实现代码只适用于两个大整数长度相等的情况。如果想求解长度不等的整数相乘，只需要对代码做微小的改动，有兴趣的小伙伴没有试一试。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

几点补充：

1. 文章最后的代码，经由网上技术博客的代码改动而来，仅做参考。

2. 关于快速傅里叶变换，有兴趣深入研究的小伙伴们可以参考《算法导论》第30章的内容。