11、离散小波变换与图像增强恢复技术解析

离散小波变换与图像增强恢复技术解析

离散小波变换的多相表示与性质

离散小波变换（DWT）在信号处理和图像压缩领域有着重要的应用。在DWT中，滤波器的多相表示是一个关键概念。对于滤波器 $g(z)$、$h(z)$ 和 $s(z)$，其多相表示如下：
- $g(z) = g_e(z^2) + z^{-1}g_o(z^2)$
- $h(z) = h_e(z^2) + z^{-1}h_o(z^2)$
- $s(z) = s_e(z^2) + z^{-1}s_o(z^2)$

基于这些表示，我们可以定义两个多相矩阵 $P(z)$ 和 $\tilde{P}(z)$。对于完美重建，这两个多相矩阵满足 $P(z)\tilde{P}(z^{-1}) = I$，其中 $I$ 是 $2\times2$ 的单位矩阵。

当多相矩阵 $P(z)$ 的行列式为 1 时，即 $|P(z)| = h_e(z)g_o(z) - g_e(z)h_o(z) = 1$，矩阵 $P(z)$ 是可逆的。此时，合成滤波器对 $(h, g)$ 和分析滤波器对 $(\tilde{h}, \tilde{g})$ 被称为互补的。当 $(h, g) = (\tilde{h}, \tilde{g})$ 时，小波变换称为正交的；否则为双正交的。当 $h(z) = \tilde{h}(z) = g(z) = \tilde{g}(z) = 1$ 时，DWT 简单地将输入信号分成两个子序列，一个包含所有奇数样本，另一个包含所有偶数样本，这被称为懒惰小波变换。

提升技术

提升是实现 DWT 的一种有效方法，主要分为原始提升和对偶提升两种类型。
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