证明H的Natarajan维数下界

25、设 H 是 R^d 中非齐次半空间的二元假设类。本练习的目标是证明 Ndim(H_{OvA,k}) ≥ (d - 1) · (k - 1)。1. 设 H_{discrete} 是所有函数 f : [k - 1] × [d - 1] → {0, 1} 的类，对于该类存在某个 i_0，使得对于每个 j ∈ [d - 1]，当 i < i_0 时，f(i, j) = 1；当 i > i_0 时，f(i, j) = 0。证明 Ndim(H_{OvA,k discrete}) = (d - 1) · (k - 1)。2. 证明 H_{discrete} 可以由 H 实现。即证明存在一个映射 ψ : [k - 1]× [d - 1] → R^d，使得 H_{discrete} ⊂ {h ◦ ψ : h ∈ H}。提示：可以取 ψ(i, j) 为第 j 个坐标为 1，最后一个坐标为 i，其余坐标为 0 的向量。3. 得出 Ndim(H_{OvA,k}) ≥ (d - 1) · (k - 1) 的结论。

下面是给定的【文本内容】：：需根据相关定义和理论进行证明：

1. 要证明 $ \mathrm{Ndim}(H_{\mathrm{OvA},k}^{\mathrm{discrete}}) = (d - 1) \cdot (k - 1) $，需根据 Natarajan 维数的定义，找到能被 $ H_{\mathrm{OvA},k}^{\mathrm{discrete}} $ 打散的最大集合大小为 $ (d - 1) \cdot (k - 1) $。

2. 按照提示取 $ \psi(i, j) $ 为第 $ j $ 个坐标为 1，最后一个坐标为 $ i $，其余坐标为 0 的向量，证明对于任意 $ f \in H_{\mathrm{discrete}} $，都存在 $ h \in H $ 使得 $ f = h \circ \psi $。

3. 因为 $ H_{\mathrm{discrete}} $ 能由 $ H $ 实现且 $ \mathrm{Ndim}(H_{\mathrm{OvA},k}^{\mathrm{discrete}}) = (d - 1) \cdot