13、连通性在分布式计算中的探讨

连通性在分布式计算中的探讨

在分布式计算领域，连通性是一个至关重要的概念。本文将深入探讨连通性与共识任务之间的关系，以及在即时快照模型中的应用。

1. 共识与路径连通性

我们从熟悉的一维连通性概念入手，探索其与共识任务的关联。在 n + 1 个进程的共识任务中，每个进程以私有输入值开始，并以输出值结束，需满足两个条件：一是所有进程选择相同的输出值；二是该值是某个进程的输入。

这里我们考虑具有任意输入复形的共识任务 (I, O, )。对于某些特定的输入复形，共识很容易解决。若输入复形中每个进程在每个配置下都具有相同的输入，则称该输入复形对于共识是退化的。在这种情况下，每个进程只需决定其输入即可。

然而，如果一个协议的载体映射将每个单纯形映射到协议复形的路径连通子复形，那么该协议无法解决非退化输入复形的共识任务。下面我们通过一个定理来精确说明这一点。

定理 10.1.1 ：设 I 是共识的非退化输入复形。若 (I, O, ) 是一个 (n + 1) 进程的共识任务，且 (I, P, ) 是一个协议，使得对于 I 中的所有单纯形 σ，(σ) 都是路径连通的，那么 (I, P, ) 无法解决共识任务 (I, O, )。

证明 ：假设该协议可以解决共识任务。由于 I 是非退化的，它包含一条边 {v, w}，使得 view(v) ≠ view(w)。根据假设，( {v, w} ) 是路径连通的，并且根据命题 3.5.3，δ(( {v, w} )) 也是路径连通的，且位于 O 的单个路径连通分量中。但共识输出复形 O 的每个路径连通分量都是一个单纯形，其顶点都