计算复杂性问题解析与证明

67、日本五子棋游戏由两名玩家“X”和“O”在19×19的网格上进行。玩家轮流放置棋子，率先在一行、一列或一条对角线上连续放置五个棋子的玩家获胜。考虑将此游戏推广到n×n的棋盘上。设GM = {⟨B⟩ | B是广义五子棋的一个局面，且玩家“X”有获胜策略}。这里的局面指的是棋盘上已放置了棋子的状态，比如游戏进行到一半时出现的情况，同时还需指明接下来轮到哪位玩家落子。证明GM属于PSPACE。

可设计一个递归算法来确定玩家“X”是否有获胜策略，该算法在每一步递归中只需存储当前棋盘局面状态等有限信息，使用多项式空间即可完成计算，因此 GM 属于 PSPACE。

68、猫鼠游戏由两名玩家“猫”和“老鼠”在任意无向图上进行。在某一时刻，每个玩家占据图中的一个节点。玩家轮流移动到与他们当前占据节点相邻的节点。图中有一个特殊节点称为“洞”。如果两名玩家占据了同一个节点，猫获胜。如果老鼠在上述情况发生之前到达了洞，老鼠获胜。如果局面重复（即两名玩家同时占据了他们之前同时占据过的位置，并且轮到同一个玩家移动），则游戏平局。HAPPY - CAT = {⟨G, c, m, h⟩ | G、c、m、h分别是一个图以及猫、老鼠和洞的位置，且如果猫先移动，猫有获胜策略}。证明HAPPY - CAT属于P类。（提示：解决方案并不复杂，不依赖于游戏定义的细微细节。考虑整个游戏树。它的规模是指数级的，但你可以在多项式时间内搜索它。）

可通过考虑整个游戏树，利用合适的算法在多项式时间内搜索该树，从而证明 HAPPY-CAT 属于 P 类。

69、证明 NTIME(n) 是 PSPACE 的真子集。

一般来说，要证明 $ \text{NTIME}(n) \subsetneq \text{PSPACE} $，需分两步：

1. 证明 $ \text{NTIME}(n) \subseteq \text{PSPACE} $
   即证明任意属于 $ \text{NTIME}(n) $ 的语言也属于 $ \text{PSPACE} $，可通过