4、统计学基础与应用：从基础概念到复杂分析

统计学基础与应用：从基础概念到复杂分析

1. 标准差与方差

标准差（用 $s$ 表示）是方差总和除以元素数量后的平方根。简单来说，就是先计算样本中每个数据与均值的差值，将差值平方后除以样本数量，得到的值开平方就是标准差。其公式如下：
[
s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}
]
其中，$x_i$ 是当前值，$\bar{x}$ 是均值，$n$ 是样本中的值的数量。

以一组数据为例，假设样本均值为 86.5，样本数据为 65、74、84、84、89、91、93、99、100，计算过程如下：
[
\begin{align }
&(65 - 86.5)^2 + (74 - 86.5)^2 + (84 - 86.5)^2 + (84 - 86.5)^2 + (89 - 86.5)^2 + (91 - 86.5)^2 + (93 - 86.5)^2 + (99 - 86.5)^2 + (100 - 86.5)^2\
=& 462.25 + 156.25 + 6.25 + 6.25 + 6.25 + 20.25 + 42.25 + 156.25 + 182.25\
=& 882
\end{align }
]
将其除以 $n - 1$（这里 $n = 9$，所以除以 8），得到方差为 110.25，方差的平方根 10.5 就是标准差。这意味着，平均而言，各个分数与均值大约相差 10.5 个单位。

标准差和方差是用于比较样本中单个数据与均值的算术计算，能让我