12、常微分方程求解与实际应用

常微分方程求解与实际应用

1. 常微分方程离散化与数值解

在求解常微分方程时，将其离散化是常用的方法。离散化有多种方式，我们可以创建比某些传统方法更精确、计算效率更高的方法。不过，向前欧拉方法直观且应用广泛，尤其是当时间步长 $\Delta t$ 较小时。

当我们使用数值方法在离散的网格点 $t_i$ 计算未知函数 $u$ 时，如果想评估网格点之间的数值解，最自然的选择是假设网格点之间为线性变化。这与我们绘制数组 $u^0, u^1, \cdots$ 与 $t_0, t_1, \cdots$ 时，在离散点之间绘制直线是一致的。

1.1 向前欧拉方法的编程实现（特殊情况）

我们通过一个程序来计算特定的方程。输入变量包括初始种群大小 $N_0$、时间步长 $\Delta t$、净增长率 $r$ 和步数 $N_t$。需要计算 $N_t + 1$ 个新值 $N^1, \cdots, N^{N_t + 1}$，在数组表示中总共需要 $N_t + 2$ 个值。

以下是实现该计算的 Matlab 代码：

N_0 = input('Give initial population size N_0: '); 
r = input('Give net growth rate r: ');
dt = input('Give time step size: ');
N_t = input('Give number of steps: ');
t = linspace(0, (N_t+1)*dt, N_t+2);
N = zeros(N_t+2, 1);
N(1) = N_0;
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