20、贝叶斯概率神经网络与贝叶斯网络的相关研究-优快云博客

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贝叶斯概率神经网络与贝叶斯网络的相关研究

1. 贝叶斯概率神经网络（BPNN）

1.1 贝叶斯最优决策规则的发展

在二分类问题中，我们可以将其扩展到多分类问题。利用条件概率的定义和文氏图，我们来推导分类决策规则。假设有两类，类A为良性类，类B为恶性类，它们的重叠部分表示为 (A \cap B = B \cap A)。
根据条件概率的定义，我们有：
[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}]
[P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}]
由于 (P(A \cap B) = P(B \cap A))，可得：
[P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)]
如果考虑误分类成本，即把未知样本误分类到A类和B类所产生的成本（分别对应二类错误和一类错误），上述公式变为：
[Cost(A)P(A|B)P(B) \lt 或 \gt Cost(B)P(B|A)P(A)]
[Type\ II\ error\ P(A|B)P(B) \lt 或 \gt Type\ I\ error\ P(B|A)P(A)]

1.2 示例说明

1.2.1 样本数量、高斯核和乘数的影响

我们通过一些图形展示了样本数量（ns）、高斯核σ和乘数（mk，包括成本和先验概率）对概率的影响。我们从均值为40（类A）和60（类B）的泊松分布中随机选取大小为ns的样本，并将结果归一化到 [0.1, 0.9] 范围。
当σ = 0.05，m1 = m2 = 1.0时，改变ns（10, 20, 50），可以看到增加样本数量能改善对底层概率密度函数（PDF）的近似，从而显著影响特征空间中决策边界的位置。
例如，在ns = 20的情况下，观察0.4 < x < 0.5的中心区域，决策非常接近。如果类A的先验概率（或误分类成本，实际上是它们的乘积）增加30%，该区域的样本将被分类为A而不是B。
同样，改变σ也会产生类似的效果，如减小σ = 0.02（ns = 50）或增加σ = 0.07（ns = 20）。

1.2.2 玩具示例

我们以一个单特征的二分类任务（n1 = 4, n2 = 5）为例，数据如下表所示：
| Case | Feature1 | True class |
| ---- | ---- | ---- |
| 1 | 0.10 | 0 |
| 2 | 0.15 | 0 |
| 3 | 0.30 | 0 |
| 4 | 0.50 | 0 |
| 5 | 0.40 | 1 |
| 6 | 0.60 | 1 |
| 7 | 0.75 | 1 |
| 8 | 0.80 | 1 |
| 9 | 0.85 | 1 |

以下是PNN训练和测试（验证）的伪代码：

Let nt be the number of training cases
Let nv be the number of validation cases
Let p be the number of features 
Let pop_size = 50 be the GA population size
Let num_gen = 10 be the number of generations to run the GA
1. read in training_data (nt x p +1) plus one for the known class
2. read in validation_data (nv x p)
3. best_sigmas = train_pnn(training_data,pop_size, num_gen)
4. train_retults = validate_pnn(training_data, best_sigmas)
5. valid_results = validate_pnn(validation_data, best_sigmas)
5. auc = ROC(valid_results)

train_pnn(data, pop_size, num_gen)
{
    # random list of sigmas between [0,1]
    initialize_sigmas(num_features,min=0,max=1)
    for (n = 1 to num_gen)
    {
        evaluate(data,sigmas)
    }
    return(best sigmas)
}

evaluate(data,sigmas)
{
    for(i = 1 to pop_size)
    {
        # pattern layer
        dist_class0 = compute_dists (data(i), all class_0)
        dist_class1 = compute_dists (data(i), all class_1)
        #summation layer
        sum density functions for each class
        normalize
        # output layer
        compute probability (class_0)
        compute probability (class_1)
        computeAUC
    }
    sort_population by AUC
    create new population as two copies of the best half
    mutate(lower half)
    return(population of sigmas)
}

validate_pnn(data,sigmas)
{
    n = nrows(data)
    for(i = 1 to n)
    {   # pattern layer
        dist_class0 = compute_dists (train(i), all class_0)
        dist_class1 = compute_dists (train(i), all class_1)
        #summation layer
        sum density functions for each class
        normalize
        # output layer
        compute probability (class_0)
        compute probability (class_1)
        compute prediction
    }
    return(predictions)
}

通过简单的遗传算法来学习最佳的σ值。在这个小例子中，寻找最佳σ的过程出现了退化，许多随机值产生了相同的AUC（0.95），我们使用算法报告的一个值（0.64）。对于先验概率和错误成本，我们将两类都设为1。BPNN对训练案例的预测结果如下表所示：
| Case | Prediction | True class |
| ---- | ---- | ---- |
| 1 | 0.416 | 0 |
| 2 | 0.427 | 0 |
| 3 | 0.461 | 0 |
| 4 | 0.515 | 0 |
| 5 | 0.474 | 1 |
| 6 | 0.528 | 1 |
| 7 | 0.563 | 1 |
| 8 | 0.575 | 1 |
| 9 | 0.585 | 1 |

可以看到，案例4和案例5的预测结果错误。

1.2.3 语音数据示例

我们将PNN应用于阿尔茨海默病的语音数据。使用第1折的训练集（179个样本）和测试集（33个样本）以及GA - SVM过程找到的10个特征。σ的进化过程比较简单，从最佳个体的适应度（AUC）进化图和σ值的进化图可以看出，初始随机种群中就有表现较好的个体，后续只有少量改进。
训练后的PNN在训练数据和验证数据上的表现都很好，AUC均为1.000000。

1.3 问题集

绘制第7.3.1节中玩具任务的BPNN架构图（类似于图7.5）。
使用矩形核（表7.1）尝试第7.3.1节的玩具任务，这需要有能执行图7.9中操作的软件，并通过示例说明为什么每个样本会根据先验复合密度函数的相对大小被分类为良性或恶性。
利用第7.1.1节的信息，推导并解释BPNN的操作。
陈述帕尔森的四个数学条件，并证明矩形核满足这些条件。
考虑使用沃尔伯格数据集设计一个BPNN：
- 使用双重交叉验证（模式层中n1 = 229，n2 = 121个节点）。
- 尝试使用非常小的训练集大小（如第8.3.7.2节末尾讨论的，模式层中n1 = 67，n2 = 33个节点）。

下面是一个简单的mermaid流程图，展示BPNN训练和测试的主要流程：

graph LR
    A[读取训练数据] --> B[读取验证数据]
    B --> C[训练PNN得到最佳σ]
    C --> D[使用最佳σ验证训练数据]
    C --> E[使用最佳σ验证验证数据]
    E --> F[计算AUC]

2. 贝叶斯网络

2.1 贝叶斯网络的设计

2.1.1 模板层的定义及存在原因

贝叶斯网络（BN）的构建可以分为定性和定量两部分。简单的三层BN结构适用于许多机器学习任务，包括一些前提条件（如人口统计特征）、一个诊断节点（BN需要根据证据估计其概率）以及一些受诊断影响的特征。
以杜克乳腺X光数据集为例，它包含16个特征（10个乳腺X光特征和6个临床数据值），所有这些特征都对良性或恶性分类有贡献，但有些特征的贡献更重要。
构建模板结构时，特征集通常分为三类：
1. 前提条件：影响结果（或疾病）的特征。
2. 诊断（如果是疾病分类）或其他决策结果：BN设计要得出的答案。
3. 假定受诊断影响的特征/观察值：用于训练和预测的测量值。
通过使用一些其他的机器学习方法（如GA - SVM - Oracle）进行特征子集选择，可以简化最终的BN设计，特别是当寻找不相关特征时，可以减少三层设计所假定的独立性违反。

2.1.2 模板层在机器学习应用中的控制和使用

贝叶斯模板通常设计为使用三个独立的层，但每层的层数、节点和边的数量取决于具体应用。一般来说，每个独立的前提条件和结果都有一个独立的节点。对于特征约简，每个约简后的特征都有一个独立的节点；如果不需要特征约简，每个用于BN设计的特征都会在该层分配一个独立的节点。通过消除每层内节点之间的边，该设计假定这些节点是不相关的。

2.1.3 三层结构为何能充分利用可用数据

对于特征约简，GA - SVM - Oracle竞争可以得到最优的约简特征集，这些特征集往往是最小相关的，从而减少了估计BN内部参数所需的观察数量。本章后面的一些示例展示了退化的BN和用于特征选择的替代机器学习方法。

2.2 利用语音检测阿尔茨海默病

2.2.1 基于语音的阿尔茨海默病贝叶斯网络

最近，Seixas等人提出了一种贝叶斯网络方法来辅助痴呆症的临床诊断。他们的特征集包括人口统计数据、神经心理学测试、易感因素以及症状和体征。我们探索了使用语音数据构建贝叶斯网络的可能性，并做出以下假设：
- 人口统计数据已知，没有父节点，但会影响阿尔茨海默病的概率。
- 语音特征和简易精神状态检查表（MMSE）会受到疾病存在与否的影响。
- BN模型中使用的特定特征应该是GA - SVM - Oracle方法找到的那些。
基于这些假设，我们可以指定如图8.1所示的BN。所需的特征是GA - SNM进化分类器中使用的所有唯一特征的并集。

2.2.2 估计先验概率和条件概率

人口统计因素对阿尔茨海默病发病率的影响已经得到了广泛研究。我们将年龄分为四个级别（<65、65 - 74、75 - 84和85 +），并使用阿尔茨海默病协会提供的发病率数据。我们从212个受试者的样本中获取先验概率，但在后续工作中，由于没有缺失数据，先验概率没有影响，所有BN预测都从已知的特征值（证据）计算得出。

下面是一个表格，展示年龄分层和对应的发病率（假设数据）：
| 年龄级别 | 发病率 |
| ---- | ---- |
| <65 | 0.05 |
| 65 - 74 | 0.15 |
| 75 - 84 | 0.30 |
| 85 + | 0.50 |

下面是一个mermaid流程图，展示基于语音数据构建贝叶斯网络的主要步骤：

graph LR
    A[确定前提条件、诊断和受影响特征] --> B[使用GA - SVM - Oracle选择特征]
    B --> C[构建贝叶斯网络结构]
    C --> D[估计先验概率和条件概率]
    D --> E[进行预测]

综上所述，贝叶斯概率神经网络和贝叶斯网络在分类和诊断任务中都有重要的应用，通过合理选择特征和参数，可以提高模型的性能。

2.2.3 贝叶斯网络在阿尔茨海默病诊断中的性能评估

为了评估基于语音数据构建的贝叶斯网络在阿尔茨海默病诊断中的性能，我们进行了一系列实验。我们使用了交叉验证的方法，将数据集划分为训练集和测试集。以下是具体的操作步骤：

数据划分 ：将收集到的语音数据和相关特征按照一定比例（如80%训练集，20%测试集）进行划分。
模型训练 ：使用训练集数据对贝叶斯网络进行训练，根据之前确定的网络结构和特征，估计先验概率和条件概率。
模型测试 ：使用测试集数据对训练好的贝叶斯网络进行测试，得到预测结果。
性能评估指标 ：使用常见的性能评估指标，如准确率、召回率、F1值、AUC等，来评估模型的性能。

以下是一个简单的表格，展示了不同性能评估指标的计算公式：
| 指标 | 计算公式 |
| ---- | ---- |
| 准确率（Accuracy） | (Accuracy = \frac{TP + TN}{TP + TN + FP + FN}) |
| 召回率（Recall） | (Recall = \frac{TP}{TP + FN}) |
| F1值（F1 - Score） | (F1 - Score = 2 \times \frac{Precision \times Recall}{Precision + Recall})，其中 (Precision = \frac{TP}{TP + FP}) |
| AUC（Area Under Curve） | ROC曲线下的面积 |

通过实验，我们发现基于语音数据的贝叶斯网络在阿尔茨海默病诊断中取得了较好的性能。这表明贝叶斯网络可以有效地利用语音特征和人口统计信息，为阿尔茨海默病的早期诊断提供有价值的支持。

2.2.4 贝叶斯网络的优化与改进

虽然贝叶斯网络在阿尔茨海默病诊断中表现出了一定的优势，但仍然存在一些可以优化和改进的地方。以下是一些可能的优化方向：

特征选择 ：进一步优化特征选择方法，寻找更具代表性和区分性的特征，以提高模型的性能。可以尝试使用不同的特征选择算法，如相关性分析、主成分分析等。
参数估计 ：改进先验概率和条件概率的估计方法，提高估计的准确性。可以考虑使用更复杂的统计模型或引入外部知识来辅助估计。
网络结构优化 ：探索更合适的贝叶斯网络结构，以更好地捕捉数据中的复杂关系。可以尝试不同的网络拓扑结构，如层次结构、有向无环图等。
集成学习 ：将贝叶斯网络与其他机器学习算法进行集成，如支持向量机、神经网络等，以提高模型的泛化能力和鲁棒性。

下面是一个mermaid流程图，展示了贝叶斯网络优化的主要步骤：

graph LR
    A[初始贝叶斯网络] --> B[特征选择优化]
    B --> C[参数估计改进]
    C --> D[网络结构优化]
    D --> E[集成学习]
    E --> F[优化后的贝叶斯网络]

3. 总结与展望

3.1 总结

本文主要介绍了贝叶斯概率神经网络（BPNN）和贝叶斯网络在分类和诊断任务中的应用。在BPNN部分，我们详细推导了贝叶斯最优决策规则，通过示例说明了样本数量、高斯核和乘数等因素对决策边界的影响，并给出了PNN训练和测试的伪代码。在贝叶斯网络部分，我们介绍了简单三层贝叶斯网络的设计方法，包括模板层的定义、控制和使用，以及如何利用语音数据构建贝叶斯网络进行阿尔茨海默病的诊断。通过实验和分析，我们发现这两种方法在相关任务中都具有一定的优势和应用价值。