14、数值积分方法与MATLAB实现

数值积分方法与MATLAB实现

1. 引言

在实际计算中，我们经常需要求解定积分的值。本文将介绍两种常见的数值积分方法：辛普森法则（Simpson’s rule）和MATLAB的 integral 函数，还会涉及用于二重积分的 integral2 函数。通过学习这些方法，我们能够更高效地解决各种积分问题。

2. 数值积分与辛普森法则

2.1 辛普森法则原理

辛普森法则可用于计算单变量定积分。其基本思想是将积分区间 $[A, B]$ 划分为 $N$ 个小区间（$N$ 为偶数），得到 $x_1, x_2, \cdots, x_{N + 1}$ 这些点，然后确定这些点上的函数值 $f_1, f_2, \cdots, f_{N + 1}$。接着用二次多项式（抛物线）连接曲线上的三个点，通过对这些抛物线下方的面积求和来近似曲线下的总面积。

辛普森法则计算积分的最终公式为：
[I = \int_{A}^{B} f(x)dx = \frac{\Delta x}{3} [f_1 + 4f_2 + 2f_3 + 4f_4 + 2f_5 + \cdots + 4f_N + f_{N + 1}]]
其中，$\Delta x = \frac{B - A}{N}$。

2.2 示例：使用辛普森法则求解积分

求解积分：
[I = \int_{0}^{10} (x^3 + 3.2x^2 - 3.4x + 20.2)dx]

以下是实现该积分计算的MATLAB代码：