35、球谐函数相关知识详解

球谐函数相关知识详解

1. 勒让德多项式

1.1 定义

勒让德多项式 (P_n(x)) 可以通过生成函数 (F(x, t)) 来定义：
[F(x, t) = \frac{1}{\sqrt{1 - 2xt + t^2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} P_n(x)t^n, \quad |t| < 1]
另一种定义方式是通过罗德里格斯公式：
[P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} (x^2 - 1)^n]
由此可得到幂级数展开式：
[P_n(x) = \sum_{k = 0}^{[n/2]} (-1)^k \frac{(2n - 2k)!}{2^n k! (n - k)! (n - 2k)!} x^{n - 2k}]
其中 ([x]) 是实数 (x) 的整数部分。

前几个勒让德多项式分别为：
(P_0(x) = 1)
(P_1(x) = x)
(P_2(x) = \frac{3x^2 - 1}{2})
(P_3(x) = \frac{5x^3 - 3x}{2})

1.2 递推关系

不同阶的勒让德多项式之间存在递推关系，重要的递推关系如下：
((n + 1)P_n(x) = P_{n + 1}’(x) - xP_n’(x))
(nP_n(x) = xP_n’(x) - P_{n - 1}’(x))
((n + 1)P_{n + 1}(x) = (2n + 1)xP_n(x) - nP_{n - 1}(x))
((2n + 1)P_