35、正则图中最大诱导匹配与受限循环覆盖的近似算法研究

正则图中最大诱导匹配与受限循环覆盖的近似算法研究

正则图中最大诱导匹配

在正则图的研究中，最大诱导匹配问题备受关注。下面我们将详细探讨相关的引理和算法。

1. 三角形与共享边对潜在冲突度的影响
   • 若边 (e) 是三角形的一部分，其潜在冲突度至少减少 (d)。因为三角形的存在不影响 (e) 的一阶冲突边数量，但二阶冲突边数量从最多 (2(d - 1)) 减少到 (d - 2)。
   • 当共享边 (e’ = {k, l}) 连接 (seci(e)) 和 (secj(e)) 且二者都属于 (sideU) 时，(ei = {u, k})，(ej = {u, l}) 和 (e’ = {k, l}) 构成三角形，(ei) 和 (ej) 的潜在冲突度至少减少 (d)。
2. 共享边对 1 - 邻域边数量的影响
   • 引理 5 表明，连接 (seci(e)) 和 (secj(e)) 且二者都属于 (sideU) 的共享边，使计入 (1 - 邻域(e)) 的边（来自 (seci(e)) 或 (secj(e))）数量最多增加 (d - 2)。因为 (|seci(e)| \leq d - 1)，(|secj(e)| \leq d - 1)，且共享边的存在使得 (seci(e)) 中的每条边最多与 (secj(e)) 中 (d - 2) 条不属于 (seci(e)) 的边相连。
3. 对角线边的影响
   • 潜在冲突度减少 ：引理 6 指出，当 (e’ \in seci(e))，(e’’ \in secj(e)) 为对角线边且 (seci(e)) 和 (secj(e)) 都属于 (sideU) 时，(ei) 和 (ej) 的潜在冲突度至少减少 1。因为边 (e) 作为正方形的一部分时，其二阶冲突边数量从最多 (2(d - 1)) 减少到 (2d - 3)。
   • 1 - 邻域边数量增加 ：引理 7 说明，此时 (1 - 邻域(e)) 中计入的边（来自 (seci(e)) 或 (secj(e))）数量最多增加 1。因为 (e1 = {k, l} \in seci(e))，(e2 = {l, m} \in secj(e)) 构成正方形，(seci(e)) 中的每条边仅通过这对对角线边与 (secj(e)) 中 1 条不属于 (seci(e)) 的边相连。
4. 一侧 1 - 邻域的边界
   • 引理 8 给出，设 (seci(e)) 是 (sideU) 中所有 (secj(e)) 组里，具有最大数量 (M -) 冲突度为 1 的边（不包括共享边）的组。那么属于 ({sideU - {{共享边} \cup seci(e)}}) 且 (M -) 冲突度为 1 的边数量最多为 (0.5d^2 - 1.5d + 1)。这是因为产生冲突的方式有共享边和对角线边两种：
     • 共享边：每条共享边最多增加 (d - 2) 条边到解中，但 (ei) 的潜在冲突度减少 (d)。
     • 对角线边：每对对角线边（其中一条必须来自 (seci(e))）增加 1 条边到解中，且 (ei) 的冲突度减少 1。
5. 共享边的边界
   • 引理 9 表明，连接 (seci(e)) 和 (secj(e)) 的每条共享边至少使 (e) 的潜在冲突度减少 1。分两种情况：
     • (seci(e) \in sideU) 且 (secj(e) \in sideV) 或反之：(ei = {u, k})，(ej = {v, l})，(e’ = {k, l}) 和 (e = {u, v}) 构成正方形，根据引理 6，(e) 的潜在冲突度减少 1。
     • (seci(e))，(secj(e) \in sideU) 或 (seci(e))，(secj(e) \in sideV)：以 (seci(e))，(secj(e) \in sideU) 为例，(ei = {u, k})，(ej = {u, l}) 和 (e’ = {k, l}) 构成三角形，二阶冲突边数量从最多 (2(d - 1)) 减少到 (2d - 3)，所以 (e) 的潜在冲突度至少减少 1。
6. 近似边界的整合
   • 共享边数量最多为 (0.5d^2 - 1.5d + 1)，否则 (e) 的冲突度将小于等于 (1.5d^2 - 0.5d)，与算法矛盾。
   • (seci(e)) 中的边数量最多为 (d - 1)，与 (e) 一阶相邻的边（包括 (e) 本身）最多为 (2d - 1)。
   • 所有 (1 -) 邻域 ((e))（(e \in M’)）上的平均共享边数量记为 (shared)，则 (1 -) 邻域 ((e)) 的平均大小最多为 (d^2 + d - 1 + shared)。
   • 引理 10 指出，对于 (d -) 有界图 (G’ = (V’, E’)) 和最大诱导匹配 (M’)，若 (M’ -) 冲突度总和（(E’) 的）(\geq 2|E’| - (d^2 + d - 1 + shared)|M’|)，则 (M’) 的大小至少为 (2|E’|/(3d^2 - d))。
   • 定理 1 得出，算法的近似比为 (0.75d + 0.15)（(d \geq 3)）。
7. 算法步骤
   • 阶段 1 ：
     1. (M \leftarrow \varnothing)
     2. (Stay \leftarrow True)
     3. 当 (Stay) 为真时：
        • 对于每个 (e \in E)，计算 (e) 的冲突度。
        • 选择冲突度最小的边 (e)。
        • 若 (e) 的冲突度 (\leq 1.5d^2 - 0.5d)：
          • (M \leftarrow M \cup {e})
          • (E \leftarrow E - C(e))
        • 否则：
          • (Stay \leftarrow False)
   • 阶段 2 ：
     1. (M \leftarrow \varnothing)
     2. 对 (G(V, E)) 和 (M) 执行 (Init) 操作，得到 (G’(V’, E’))。
     3. (M’ \leftarrow \varnothing)
     4. 对 (G’(V’, E’)) 和 (M’) 执行 (Rule1) 操作。
     5. 对 (G’(V’, E’)) 和 (M’) 执行 (Rule2) 操作，直到发生交换或不存在交换。
     6. 若在 (Rule2) 中发生交换，返回 (Rule1)；否则，停止并返回 ({M \cup M’}) 作为诱导匹配。

下面用 mermaid 流程图展示阶段 1 的算法流程：

graph TD;
    A[开始] --> B[M ← Ø, Stay ← True];
    B --> C{Stay 为真};
    C -- 是 --> D[计算每个 e ∈ E 的冲突度];
    D --> E[选择冲突度最小的边 e];
    E --> F{e 的冲突度 ≤ 1.5d² - 0.5d};
    F -- 是 --> G[M ← M ∪ {e}];
    G --> H[E ← E - C(e)];
    H --> C;
    F -- 否 --> I[Stay ← False];
    I --> C;
    C -- 否 --> J[结束];

受限循环覆盖问题

受限循环覆盖问题与旅行商问题（TSP）密切相关，它是 TSP 的一种松弛问题。下面我们来详细了解相关概念和已有结果。
1. 问题背景
- TSP 是寻找经过每个顶点恰好一次的最小或最大权重的哈密顿循环，由于其 NP - 难性，通常需要近似算法。
- 循环覆盖是图的一个生成子图，其中每个顶点恰好属于一个简单循环。循环覆盖的权重是其边的权重之和。
- 为了提高 TSP 近似算法的性能，我们关注受限循环覆盖，即排除某些长度的循环。
2. 基本概念
- 设 (G = (V, E)) 是图，循环覆盖是由循环组成的子图，使得 (V) 中的所有顶点恰好属于一个循环。
- (L -) 循环覆盖是指每个循环的长度都在集合 (L \subseteq \mathbb{N}) 中的循环覆盖。对于无向图，(L \subseteq U = {3, 4, 5, \ldots})；对于有向图，(L \subseteq D = {2, 3, 4, \ldots})。
- (k -) 循环覆盖是 ({k, k + 1, \ldots}-) 循环覆盖。
- 给定边权重函数 (w : E \to \mathbb{N})，边子集 (C \subseteq E) 的权重 (w(C) = \sum_{e \in C} w(e))。
- 相关问题包括 (L - UCC)、(Max - L - UCC)、(Max - W - L - UCC) 等，分别对应不同的优化目标。
3. 已有结果
- 无向图 ：
- (U - UCC)、(Max - U - UCC) 和 (Max - W - U - UCC) 可通过归约到经典完美匹配问题在多项式时间内解决。
- Hartvigsen 的算法可用于在多项式时间内判定 (4 - UCC)，并能近似 (Max - 4 - UCC)，误差为 1。
- (Max - W - k - UCC) 有一个简单的 (3/2) 近似算法，但不能推广到任意 (L) 的 (Max - W - L - UCC)。
- 对于边权重为 1 和 2 的图，计算 (k -) 循环覆盖的最小权重问题有一个 (7/6) 近似算法。
- (6 - UCC) 是 NP - 完全的，(Max - W - 5 - UCC) 是 NP - 难的，对于 (k \geq 7)，(Max - k - UCC) 和 (Max - W - k - UCC) 是 APX - 完全的，(L - UCC) 对于 (L \neq {3, 4}) 是 NP - 难的。
- 有向图 ：(D - DCC)、(Max - D - DCC) 和 (Max - W - D - DCC) 可通过归约到最大权重完美匹配问题在多项式时间内解决。

下面用表格总结无向图和有向图的已有结果：
| 图类型 | 问题 | 复杂度/近似性 |
| ---- | ---- | ---- |
| 无向图 | (U - UCC)、(Max - U - UCC)、(Max - W - U - UCC) | 多项式时间可解 |
| 无向图 | (4 - UCC) | 多项式时间可判定 |
| 无向图 | (Max - 4 - UCC) | 可近似，误差为 1 |
| 无向图 | (Max - W - k - UCC) | (3/2) 近似（不能推广到任意 (L)） |
| 无向图 | 边权重为 1 和 2 的 (k -) 循环覆盖最小权重问题 | (7/6) 近似 |
| 无向图 | (6 - UCC) | NP - 完全 |
| 无向图 | (Max - W - 5 - UCC) | NP - 难 |
| 无向图 | (k \geq 7) 的 (Max - k - UCC)、(Max - W - k - UCC) | APX - 完全 |
| 无向图 | (L \neq {3, 4}) 的 (L - UCC) | NP - 难 |
| 有向图 | (D - DCC)、(Max - D - DCC)、(Max - W - D - DCC) | 多项式时间可解 |

正则图中最大诱导匹配与受限循环覆盖的近似算法研究

受限循环覆盖问题的复杂度与近似性分析

1. 复杂度分析
   • 对于几乎所有的 (L)，计算有向和无向图中最大权重 (L -) 循环覆盖的问题是 APX - 难和 NP - 难的，且大部分硬度结果在边权重限制为 0 和 1 时仍然成立。
   • 不过，也有特殊情况，如 4 - 循环覆盖在边权重为 0 和 1 的图中可以在多项式时间内计算。
2. 近似性分析
   • 对于无向图，计算最大权重 (L -) 循环覆盖的问题可以用 2.5 的因子进行近似。
   • 对于有向图，该问题可以用 3 的因子进行近似。

下面用 mermaid 流程图展示计算最大权重 (L -) 循环覆盖问题的复杂度和近似性判断流程：

graph TD;
    A[开始] --> B{图类型};
    B -- 无向图 --> C{是否为 4 - 循环覆盖且边权重为 0 和 1};
    C -- 是 --> D[多项式时间可计算];
    C -- 否 --> E{是否为几乎所有的 L};
    E -- 是 --> F[APX - 难和 NP - 难];
    E -- 否 --> G[2.5 因子近似];
    B -- 有向图 --> H{是否为几乎所有的 L};
    H -- 是 --> F;
    H -- 否 --> I[3 因子近似];
    D --> J[结束];
    F --> J;
    G --> J;
    I --> J;

3. 副产品结果
   • 计算 (\lambda -) 正则图（(\lambda \geq 3)）中最小顶点覆盖的问题是 APX - 完全的。

总结与展望

1. 正则图中最大诱导匹配
   • 通过一系列引理和算法，我们得到了最大诱导匹配的近似比为 (0.75d + 0.15)（(d \geq 3)），并且给出了具体的算法步骤，包括阶段 1 和阶段 2。
   • 这些结果有助于在正则图中高效地找到接近最优的诱导匹配。
2. 受限循环覆盖问题
   • 虽然大部分情况下计算最大权重 (L -) 循环覆盖是困难的，但我们找到了一些可解的特殊情况，并且给出了无向图和有向图的近似算法。
   • 这些结果为基于循环覆盖的近似算法设计提供了理论基础。

未来的研究可以进一步探索：
- 对于正则图中最大诱导匹配问题，能否找到更优的近似算法，或者在特定类型的正则图中得到更好的结果。
- 对于受限循环覆盖问题，能否缩小可解和难解的 (L) 集合的范围，以及改进近似算法的因子。

下面用表格总结正则图中最大诱导匹配和受限循环覆盖问题的主要结果：
| 问题类型 | 主要结果 |
| ---- | ---- |
| 正则图中最大诱导匹配 | 近似比为 (0.75d + 0.15)（(d \geq 3)），给出阶段 1 和阶段 2 算法步骤 |
| 受限循环覆盖问题 | 大部分 (L) 下计算最大权重 (L -) 循环覆盖是 APX - 难和 NP - 难；4 - 循环覆盖（边权重 0 和 1）可多项式时间计算；无向图 2.5 因子近似，有向图 3 因子近似；(\lambda -) 正则图（(\lambda \geq 3)）最小顶点覆盖问题 APX - 完全 |