40、多尺度几何分析在图像质量评估中的应用

多尺度几何分析在图像质量评估中的应用

1. 多尺度几何分析概述

多尺度几何分析（Multiscale Geometric Analysis，MGA）是一种用于最优表示高维函数的框架，它在信号处理、计算机视觉、机器学习和统计学等领域不断发展和完善。MGA 能够检测、组织、表示和处理数据，例如边缘等在高维空间中但重要特征大致集中在低维子集（如曲线）的数据。

近年来，科学家们致力于寻找简单的图像呈现方式，随着科学的进步，MGA 已形成一个包含众多成员的大家族。

1.1 小波变换

小波变换是最早能够通过多尺度和多方向变换分析图像并能无损恢复原始图像的方法。由于其在一维分段光滑函数的非线性逼近（NLA）方面表现出色，已成功应用于许多图像处理任务，如低比特率压缩和去噪。利用小波变换可以有效地捕捉点或零维的不连续性。

然而，在二维或更高维空间中，小波变换无法高效、有效地描绘奇异点。本质上，通过一维小波的张量积得到的二维小波善于分离边缘点的不连续性，但无法体现轮廓的平滑性。例如，在高效逼近轮廓时，小波变换只能使用沿着轮廓的方形刷子，且随着分辨率提高，需要更多的细点来捕捉轮廓，其局限性明显。而期望的 X - let 风格变换在绘制不同方向和跟随轮廓的矩形形状时具有更多的自由度，其 NLA 方法比小波变换更高效。此外，小波只有三个方向，缺乏重要的方向性特征，在保留纹理和细节方面效率不高。

1.2 其他 MGA 表示

• 脊波（Ridgelet） ：1998 年，Cands 开创了一种用于高维函数表示的非自适应方法，即脊波。同年，Donoho 给出了构造正交脊波的方法