Leveling Ground（数论，三分法，堆）

最新推荐文章于 2024-06-09 19:00:43 发布

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探讨如何通过数论和三分法解决一类问题：给定一系列整数，通过特定数值的操作使序列变为全零，目标是最小化操作次数。文章详细介绍了算法思路和实现细节。

Leveling Ground（数论，三分法，堆）

给定n个数和a,b每次可以选择一段区间+a,-a,+b或-b，问最少操作几次能把他们都变成0。n<=1e5。

首先差分一下序列，问题就会变成了：每次选择两个数，一个+a另一个-a，或一个+b另一个-b，问最少操作几次能把序列变成全0。若不能操作则输出-1。

既然只能+-a或b，那么必须\(A_i=ax_i+by_i\)。由于\(gcd(a, b)|ax+by\)，因此若\((a,b)\nmid A_i\)就输出-1。

操作的次数是\(\frac{\sum |x_i|+\sum |y_i|}{2}\)。因此我们要最小化这个值，也就是让每个数的\(cnt_i=|x_i|+|y_i|\)之和均最小。

\(x_i\)可以变成\(x_i+k_ib\)，\(y_i\)可以变成\(y_i-k_ia\)，这样\(A_i\)依然不变，并且\(cnt_i\)可能变小。由于\(|x_i+k_ib|+|y_i-k_ia|\)是两个一次函数的绝对值的和，因此它是个单峰函数。三分确定k就可以找到最小的\(cnt_i\)。

还有一个问题，就是\(\sum x_i\)和\(\sum y_i\)都要为0，这样才能保证+a-a，+b-b的次数相同。由于\(\sum A_i=\sum ax_i+\sum by_i=0\)，因此只要保证\(\sum x_i=0\)即可。接着就只要用小根堆维护所有\(x_i\)降低/升高b，\(y_i\)升高/降低a以后操作次数的增加量，每次取最小的增加量即可。由于\(\sum A_i=\sum ax_i+\sum by_i=0\)，因此\(b\mid\sum x_i\)，所以一定有解。

Tip：我tm调了一天70分没调出来，所以下面那个并不是真·代码，不过反正大体没有错来着。。如果有哪位大神看出来错误了请务必告诉我。

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <functional>
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair<LL, LL> pa;
LL n, a, b, gab, x_base, y_base, delta, pos;
LL gcd(LL x, LL y){ return y?gcd(y, x%y):x; }
inline int _abs(int x){ return x<0?-x:x; }
inline LL _abs(LL x){ return x<0?-x:x; }
inline double _abs(double x){ return x<0?-x:x; }

const LL maxn=1e5+5;
LL A[maxn], B[maxn], x[maxn], y[maxn], k[maxn], cntx, op, ans;  //A[i]:原数
priority_queue<pa, vector<pa>, greater<pa> > q;
pa tmp;

LL div3(double L, double R, LL x, LL y){  //三分
    double k1, k2, t1, t2;
    while (L+0.01<R){
        k1=L+(R-L)/3; k2=L+(R-L)/3*2;
        t1=_abs(x+k1*b)+_abs(y-k1*a);
        t2=_abs(x+k2*b)+_abs(y-k2*a);
        if (t1<t2) R=k2; else L=k1;
    }
    LL k=(L+R)/2;
    if (_abs(x+k*b)+_abs(y-k*a)>_abs(x+(k+1)*b)+_abs(y-(k+1)*a)) ++k;
    if (_abs(x+k*b)+_abs(y-k*a)>_abs(x+(k-1)*b)+_abs(y-(k-1)*a)) --k;
    return k;
}

void exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y){
    if (b==0){ x=1, y=0; return; }
    exgcd(b, a%b, x, y); LL prey=y;
    y=x-(a/b)*y; x=prey;
}

int main(){
    scanf("%lld%lld%lld", &n, &a, &b); gab=gcd(a, b);
    for (LL i=1; i<=n; ++i){ scanf("%lld", &B[i]); A[i]=B[i]-B[i-1]; }
    A[n+1]=-B[n]; ++n;
    if (a==b){
        for (int i=1; i<=n; ++i){
            if (A[i]%a){ puts("-1"); return 0; }
            ans+=_abs(A[i]/a);
        }
        printf("%lld\n", ans/2);
        return 0; }
    exgcd(a, b, x_base, y_base); a/=gab; b/=gab;
    for (LL i=1; i<=n; ++i){
        if (A[i]%gab){ puts("-1"); return 0; }
        A[i]/=gab;
        x[i]=x_base*A[i], y[i]=y_base*A[i];
        k[i]=div3(-_abs(A[i]), _abs(A[i]), x[i], y[i]);
        x[i]+=k[i]*b; y[i]-=k[i]*a;  //满足ax+by=A，且|x|+|y|最小
        ans+=_abs(x[i])+_abs(y[i]);
        cntx+=x[i];  //判断x多出了多少
    }
    if (cntx==0){ printf("%lld\n", ans); return 0; }
    cntx/=b; op=cntx>0?-1:1;  //k要加cntx 增加的方向是op
    for (LL i=1; i<=n; ++i)
        q.push(make_pair(_abs(x[i]+op*b)+_abs(y[i]-op*a)-_abs(x[i])-_abs(y[i]), i));  //delta
    for (LL i=1; i<=_abs(cntx); ++i){
        tmp=q.top(); q.pop();
        delta=tmp.first; pos=tmp.second;
        ans+=delta; x[pos]+=op*b; y[pos]-=op*a;
        delta=_abs(x[pos]+op*b)+_abs(y[pos]-op*a)-_abs(x[pos])-_abs(y[pos]);
        q.push(make_pair(delta, pos));
    }
    printf("%lld\n", ans/2);
    return 0;
}

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