随机变量与期望解析-优快云博客

随机变量和期望

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对每个随机实验，都会有若干个基本事件，它们共同组成了样本空间\(\Omega\)。可是基本事件不一定是数字，不方便我们分析，所以就有了随机变量。在\(\Omega\)上的随机变量X是一实值函数，满足对任意一个基本事件，均有唯一确定的随机变量取值对应。设有事件\(\omega\)，那么它的取值是\(X(\omega)\)，简写为\(x_i\)，在这个取值下它的概率是\(p(x_i)=p_i\)（注意概率），随机变量X的期望则是\(E(X)=\sum{X(\omega_i)}{P(\omega_i)}=\sum x_ip_i\)。随机变量分为离散型和连续型，离散型随机变量就是可以一一列举基本事件取值的随机变量。以下讨论的均是离散型随机变量。

离散型随机变量X的“概率分布”，表示X的所有基本事件的概率的分布，我们也可以说X服从什么分布。如果随机变量X的取值只有0和1，且\(p(X=1)=p\)，则称X服从成功率为p的两点分布（意思就是说概率的取值只有两个，其中一个为p，另外一个为1-p）。该实验为成功率为p的伯努利实验。

若随机变量X满足：在独立重复的伯努利试验中，前k-1次失败，第k次成功，X的取值为k，则称X服从成功率p的几何分布。也就是说X表示伯努利实验的成功次数，那么E(X)就是成功的期望试验次数。显然\(p(X=m)=pq^{m-1}\)，所以\(E(X)=\sum_{i=1}^{\infty}ip(X=i)=p(\sum_{i=1}^{\infty}iq^{i-1})=p\frac{1}{(1-q)^2}=\frac{1}{p}\)。于是我们得到了一个定理：若随机变量X服从成功率为p的几何分布，则\(E(X)=p^{-1}\)。因为那为什么它叫做几何分布呢？因为X的取值的概率是一个等比数列，而等比数列又叫做几何数列，因为每项都是前后两项的几何平均数（也就是面积相同的长方形和正方形）

形象的理解一下（from虞大），如果你每天有\(\frac{1}{10}\)的概率ak，那么你差不多10天就能ak一次。

来看一道题目。你要生成一个长度为n的排列，算法是这样的：随机一个1到n之间的整数，如果没有出现过就加到排列当中,否则再次随机数。问你生成一个排列的期望随机次数。我们发现生成第i个数的期望\(E(X_i)\)服从成功率为\(\frac{n-i}{n}\)的几何分布，期望即为\(\frac{n}{n-1}\)。那么由期望的线性性质（这是后面的内容），可以得总期望\(E(X)=\sum_{i=1}^{n}\frac{n}{n-i+1}\)，然后调和级数算算就出来了（我也不会算）。

还有一个分布叫做二项分布，如果随机变量X满足，在n次独立重复的伯努利实验中，X的取值为n次试验中成功的次数，则称X为服从成功率p的二项分布。为什么叫做二项分布呢，因为对于随机变量X，由组合计数，有\(p(X=k)=(^n_k)p^kq^{n-k}\)，\(q=1-p\)，二项式展开以后也有\((^n_k)\)这个东西。

再理一遍概念。随机变量是指这样的X：X有若干个取值x，每个取值有一个概率p(x)。它的期望就是所有x和p(x)的乘积之和。你或许可以把它看成一个坐标轴，x轴表示随机变量的取值，y轴表示概率的取值，那么X就代表若干个坐标轴上的点，X的期望就是每个点的x轴取值*y轴取值，再加起来。

如果还没理解的话，画个表格也许能帮助理解离散型随机变量的期望：

\(\Omega\)（样本空间）	\(p(\omega)\)（样本概率）	\(X(\omega)\)（随机变量取值）	\(p(\omega)X(\omega)\)（带权概率）
\(\omega_1\)（基本事件）	\(p(\omega_1)=p_1\)	\(X(\omega_1)=x_1\)	\(p_1x_1\)
\(\omega_2\)	\(p_2\)	\(x_2\)	\(p_2x_2\)
……	……	……	……
\(\omega_n\)	\(p_n\)	\(x_n\)	\(p_nx_n\)
	\(\sum=1\)		\(\sum=E(X)\)