常用拉氏变换表

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本文深入探讨了单位脉冲函数及单边拉氏变换的性质，包括叠加原理、微分定理、积分定理等，提供了丰富的理论知识和实践指导。
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单位脉冲函数（即狄拉克dirac函数）

 

常用拉氏变换表

 

 

 

 

 

 单边拉氏变换的性质（乘以单位阶跃函数u（t）后）

叠加原理、微分定理、积分定理、衰减定理、延时定理、初值定理、终值定理、时间尺度改变、周期函数的象函数、卷积的象函数

 

 

 

 参考：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%89%E6%99%AE%E6%8B%89%E6%96%AF%E5%8F%98%E6%8D%A2

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### 常用拉氏变换公式表 以下为拉氏变换的一些常用公式及其对应的表达式，这些公式在信号与系统、电路理论、自动控制原理等领域中广泛应用[^1]。 | 序号 | 时间域函数 \( f(t) \) | 拉氏变换 \( F(s) \) | |------|-----------------------|---------------------| | 1 | \( \delta(t) \) (单位冲激函数) | \( 1 \) [^2] | | 2 | \( u(t) \) (单位阶跃函数) | \( \frac{1}{s} \) [^3] | | 3 | \( t^n \cdot u(t) \), \( n = 0, 1, 2, ... \) | \( \frac{n!}{s^{n+1}} \) [^4] | | 4 | \( e^{-at} \cdot u(t) \) | \( \frac{1}{s+a} \) [^5] | | 5 | \( t^n \cdot e^{-at} \cdot u(t) \) | \( \frac{n!}{(s+a)^{n+1}} \) [^6] | | 6 | \( \sin(bt) \cdot u(t) \) | \( \frac{b}{s^2 + b^2} \) [^7] | | 7 | \( \cos(bt) \cdot u(t) \) | \( \frac{s}{s^2 + b^2} \) [^8] | | 8 | \( e^{-at} \sin(bt) \cdot u(t) \) | \( \frac{b}{(s+a)^2 + b^2} \) [^9] | | 9 | \( e^{-at} \cos(bt) \cdot u(t) \) | \( \frac{s+a}{(s+a)^2 + b^2} \) [^10] | 上述公式中，\( u(t) \) 表示单位阶跃函数，\( \delta(t) \) 表示单位冲激函数。此外，\( s \) 是复数变量，通常表示为 \( s = \sigma + j\omega \)，其中 \( \sigma \) 和 \( \omega \) 分别是实部和虚部。 --- ### 拉氏反变换的定义 拉氏反变换是从频域函数 \( F(s) \) 回到时间域函数 \( f(t) \) 的过程。其数学表达式为： \[ f(t) = \mathcal{L}^{-1}[F(s)] = \frac{1}{2\pi j} \int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty} F(s) \cdot e^{st} ds \] 其中，\( \sigma \) 是一个适当的实数，使得积分路径位于收敛区域内[^4]。 --- ### 拉氏变换的性质 以下是拉氏变换的一些重要性质，这些性质在实际应用中非常有用： 1. **线性性质** 若 \( f_1(t) \leftrightarrow F_1(s) \) 和 \( f_2(t) \leftrightarrow F_2(s) \)，则 \[ a \cdot f_1(t) + b \cdot f_2(t) \leftrightarrow a \cdot F_1(s) + b \cdot F_2(s) \] [^2] 2. **延迟性质** 若 \( f(t) \leftrightarrow F(s) \)，则 \[ f(t-a) \cdot u(t-a) \leftrightarrow e^{-as} \cdot F(s) \] [^3] 3. **微分性质** 若 \( f(t) \leftrightarrow F(s) \)，则 \[ \frac{d}{dt}f(t) \leftrightarrow sF(s) - f(0^-) \] [^3] 4. **积分性质** 若 \( f(t) \leftrightarrow F(s) \)，则 \[ \int_0^t f(\tau)d\tau \leftrightarrow \frac{1}{s}F(s) \] [^3] 5. **初值定理** 若 \( f(t) \leftrightarrow F(s) \)，且 \( F(s) \) 在 \( s \to \infty \) 处解析，则 \[ f(0^+) = \lim_{s \to \infty} sF(s) \] [^2] 6. **终值定理** 若 \( f(t) \leftrightarrow F(s) \)，且 \( F(s) \) 在 \( s \to 0 \) 处解析，则 \[ f(\infty) = \lim_{s \to 0} sF(s) \] [^2] --- ### 示例代码：使用Python计算拉氏变换 以下是一个简单的Python代码示例，展示如何使用`sympy`库进行拉氏变换计算： ```python from sympy import symbols, laplace_transform, exp, sin, cos # 定义符号 t, s = symbols('t s') # 定义时间域函数 f1 = exp(-2*t) # e^(-2t) f2 = sin(3*t) # sin(3t) f3 = cos(4*t) # cos(4t) # 计算拉氏变换 F1 = laplace_transform(f1, t, s, noconds=True) F2 = laplace_transform(f2, t, s, noconds=True) F3 = laplace_transform(f3, t, s, noconds=True) print("F1(s) =", F1) print("F2(s) =", F2) print("F3(s) =", F3) ``` ---
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