分段有序数组合并成有序(空间复杂度为O(1))

本文介绍了一种在空间复杂度为O(1)的情况下合并两个已分段有序数组的方法。提出了两种解决方案:一种是直接插入排序,其时间复杂度为T(n)=m*(n-m);另一种是通过比较和交换元素再进行直接插入排序,同样具有T(n)=m*(n-m)的时间复杂度。

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题目描述:

数组A,长度为n,其中A[0, m-1] 和 A[m, n-1],都分别有序。将其合并成有序数组A[0,n-1],要求空间复杂度为O(1)。

现在的题目条件是数组分段有序,前后两部分已经有序,如果没有空间复杂度的限制,可以通过建立一个长度为n的空间,然后在O(n)时间内归并成一个有序的数组。

(1)直接插入排序

常见的比较排序算法我们都知道,我们知道在已经基本排序的基础上,直接插入排序的效率是比较高的,所以首先我们能想到的就是利用直接插入排序的方法来解决这个问题,时间复杂度T(n) = m*(n-m),这是因为每次确定插入位置时,最多需要比较和移动m次,因为前面已经插入的元素已经是在最终位置上了(A[m, n -1]也是有序的原因)。

具体代码如下:

template <typename Type>
void DirectInsertMerge(Type *array, int low, int high, int m)
{
    if (array == NULL || low >= high || low < 0 || m < low || m > high)
    {
        return;
    }

    Type exchange;
    int j;

    for (int i = m; i <= high; ++i)
    {
        exchange = array[i];

        for (j = i - 1; j >= low; --j)
        {
            if (exchange < array[j])
            {
                array[j + 1] = array[j];
            }
            else
            {
                break;
            }
        }

        if( i == j + 1) break;//插入位置为当前所在位置,整个数组已经有序
 
        array[j + 1] = exchange;
    }
}


(2)另一种解法

将A[m]与A[0...m-1]的元素依次顺序比较,当A[m] < A[i]时,将A[m]<--->A[i]进行交换,然后对A [m...n - 1]进行重新排序使其有序(可采用直接插入),然后依次重复上述步骤,不过是A[m]与A[i+1...m-1]的元素依次顺序比较。因为i前面的元素已经在起该在的位置上了。如下图:

这种算法的时间复杂度和直接插入排序一样,T(n) = m*(n-m),源代码如下:

template <typename Type>
void MergePartialSeq(Type *array, int low, int high, int m)
{
    if (array == NULL || low >= high || low < 0 || m < low || m > high)
    {
        return;
    }

    Type exchange;

    int i = low;
    while( i < m)
    {
        while (i < m && array[m] >= array[i])
            ++i;

        if(i == m) 
            break;

        exchange = array[i];
        array[i] = array[m];
        array[m] = exchange;

        int j = m + 1;
        exchange = array[m];

        while(j <= high && array[j] < exchange)
        {
            array[j - 1] = array[j];
            ++j;
        }

        array[j - 1] = exchange;

        ++i;
    }
}


May 28, 2013 @lab

在实现数组分段排序时,主要目标是将数组划分为多个逻辑段,并对每一段进行独立排序。这种技术可以用于优化性能,特别是在大规模数据处理或特定需求(如部分结果优先返回)的情况下。 ### 实现思路 #### 1. **确定分段策略** - 分段可以通过指定固定长度的子数组进行划分,也可以根据某些条件动态决定分段边界。例如,按数值范围、索引区间或其他业务规则。 - 举个例子,一个数组可以被分 `k` 段,每段大小为 `n/k`(假设数组长度为 `n`),这适用于均匀分布的数据[^2]。 #### 2. **排序每个分段** - 对于每段数组,可以选择合适的排序算法,例如快速排序、归并排序或堆排序。这些算法各有优劣,选择时需要考虑时间复杂度和空间复杂度。 - 快速排序平均时间复杂度为 O(n log n),但最坏情况下可能退化到 O(n²);而归并排序始终保证 O(n log n) 的性能,但会占用额外的存储空间[^1]。 #### 3. **合并分段后的结果** - 如果要求最终整个数组有序,则需要将已排序的各段进行合并。通常使用归并排序中的合并操作,即双指针法逐个比较元素并插入正确位置。 - 合并的时间复杂度为 O(n),因为每个元素只需要一次遍历即可完整合。 #### 4. **代码示例:Go 中的分段排序实现** 下面是一个简单的 Go 实现示例,它将数组分为三段并分别排序: ```go package main import ( "fmt" "sort" ) func segmentSort(arr []int, segments int) { n := len(arr) if segments <= 0 || segments > n { segments = n // 3 // 默认分三段 } // 计算每段的大小 segSize := n / segments for i := 0; i < segments; i++ { start := i * segSize end := start + segSize if i == segments-1 { // 最后一段处理剩余元素 end = n } sort.Ints(arr[start:end]) // 对每段进行排序 } } func main() { arr := []int{9, 7, 5, 3, 1, 2, 4, 6, 8, 10} segmentSort(arr, 3) fmt.Println("分段排序后的数组:", arr) } ``` #### 5. **优化与扩展** - **并行处理**:如果每段之间没有依赖关系,可以利用多线程或多核处理器对各个段进行并发排序,从而提升整体性能。 - **自适应分段**:对于非均匀分布的数据,可以采用更智能的分段方式,比如根据数据分布动态调整段的大小,以减少不必要的计算资源浪费。 - **内存管理**:在大数据量场景下,需注意内存占用问题。若数组非常大,可考虑外部排序方法或者使用流式处理技术[^3]。 ---
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